付値
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付値(ふち、英: valuation、賦値、附値とも)とは、単位元 1 を持つ環 R と順序加群(英語版) G に対して、以下の3条件を満たす写像 v: R → G ∪ {∞} である。
- v(1) = 0, v(0) = ∞ である。
- 任意の R の元 x, y に対して、v(xy) = v(x) + v(y) が成り立つ。
- 任意の R の元 x, y に対して、v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) が成り立つ。
但し、∞ は G には属さない元で、G の任意の元 a に対して
を満たすものとする。上記定義を満たす付値のことを R の 加法付値または一般付値ともいう。さらに G が実数体の加法部分群であるとき指数付値という。
特に R が体であるとき、 は G の加法部分群となり、これを v の値群という。