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ブラ-ケット記法(ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation)またはディラックの記法[1](ディラックのきほう、英: Dirac notation)は[注 1]、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。
ブラケット(bra-ket)という呼称は、量子状態をブラ(bra) ⟨φ| とケット(ket) |ψ⟩ と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積 ⟨φ|ψ⟩ が括弧(bracket)を成すことに由来する。
ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文(Dirac 1939)で提案された。ディラックの教科書 the principles of quantum mechanics では1947年の第3版からブラケット記法を採用している[2]。
ブラ ⟨φ| はケット |ψ⟩ のなすベクトル空間の双対空間の元として定義される。ケットをケットへ写す線型な関数(線型作用素)を で表し、ケットに対する適用を と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。
通常、上記の内積は括弧を外して と表される。 また特に任意のケット |ψ⟩ に作用してケット |η⟩⟨ξ|ψ⟩ を与える作用素は |η⟩⟨ξ| と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で |η⟩⟨ξ| と表される。
ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。
この記法の利点として
などがある[3]。
ディラックの説明によればケット |ψ⟩ の空間においてブラ ⟨φ| は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。
正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて
連続基底ではデルタ関数を用いて
となる。
また正規直交基底の完全性は離散基底について、
連続基底について、
と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 があるかのように書いている[4](量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照)。
と定義する。この時 a† がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 {a †
α , a †
β } = 0 を満たすので、
となり、反対称化されている。
また a† がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 [a †
α , a †
β ] = 0 を満たすので、
となり、対称化されている。
ケット |ψ⟩ と、(位置表示の)波動関数 ψ(x) の関係は以下のように表される[5]。
ただし、位置を表す演算子 の固有値を x 、対応する固有ケットを |x⟩ とする;。
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