位相幾何学において,位相空間 X の懸垂(英: suspension)SX とは,X と単位区間 I = [0, 1] の積空間の商空間
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Suspension.svg/220px-Suspension.svg.png)
である.したがって,X は円柱に引き伸ばされ,そして両端が点に押しつぶされる.X を端点の間に「ぶらさがっている」(suspended) と見る.懸垂を X 上の2つの錐を base で貼り合わせたもの(あるいは1つの錐の商)とも見られる.
連続写像 f: X → Y が与えられると,Sf([x, t]) := [f(x), t] によって定義される写像 Sf: SX → SY が存在する.これにより S は位相空間の圏から自身への関手となる.荒っぽく言えば,S は空間の次元を 1 増やす:それは n ≥ 0 に対して n 次元球面を (n + 1) 次元球面に写す.
空間 SX は join に同相である,ただし S0 は2点離散空間である.
空間 SX は,下記の約懸垂と区別するために,X の unreduced, unbased, or free suspension と呼ばれることもある.
懸垂はホモトピー群の準同型を構成するのに使うことができ,それにはフロイデンタールの懸垂定理を適用できる.ホモトピー論では,適切な意味で懸垂で保たれる現象は安定ホモトピー論を作る.
約懸垂
X が(x0 を基点に持つ)基点付き空間のとき,ときどきより有用な,懸垂の変種がある.X の約懸垂 (reduced suspension, based suspension) ΣX とは,接着空間
である.これは SX をとり,2端点を結ぶ線分 (x0 × I) を一点に押しつぶすことと同値である.ΣX の基点は (x0, 0) の同値類である.
X の約懸垂は X の単位円 S1 とのスマッシュ積に同相である
ことを示すことができる.
CW複体のような行儀のよい空間に対しては,X の約懸垂は通常の懸垂とホモトピー同値である.
Σ は基点付き空間の圏から自身への関手を生じる.この関手の重要な性質は,(基点付き)空間 X をそのループ空間 ΩX に送る関手 Ω の左随伴であることである.言い換えると,自然に
である,ただし は基点を保つ連続写像全体である.この随伴はデカルト積上の写像をカリー化された形に送るカリー化の形と理解でき,Eckmann–Hilton duality の例である.これは懸垂と自由ループ空間に対しては成り立たない.
Desuspension
Desuspension は懸垂の逆である操作である[1].
関連項目
- 錐 (位相幾何学)
- Join (topology)
脚注
参考文献
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