newform

(p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.} f はウェイト k の integer newform でありフーリエ係数 a(n) は整数であるとする．次の問題を考える： f が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数 p は a ( p

2 でレベル N の特殊なモジュラ形式、すなわち、（必要であれば同種に従い）正規化された整数のq-展開をもつ新形式（英語版）(newform)の生成する写像として、定義される。 モジュラリティ定理は、次の谷山豊による解析的なステートメントにも言い換えられる。Q 上の楕円曲線 E の楕円曲線のL-函数を

\sum a(n)q^{n},\qquad q=\exp(2\pi iz)} はウェイト 2 でレベル N の双曲モジュラー形式の新形式（英語版）(newform)を定義する。N を割らない素数 ℓ に対して、モジュラー形式の係数 a(ℓ) は ℓ に等しい、つまり法 ℓ での最小多項式の解の個数に等しい。

ではあり得ない（同じ表現を生じさせるモジュラー形式が存在し得ないという意味で）ことを示す。 f を Γ0 (qN) に関する重さ2の新形式 (newform)  – ここでレベル qN について q は N を割らない –[訳語疑問点] で付随する 2-次元絶対既約 mod p Galois 表現