congruence subgroup

の群は、このタイリングのことばで（モジュラー曲線のタイリングである）右図のように可視化することができる。 モジュラー群 Γ の重要な部分群には、合同部分群（英語版）(congruence subgroup)と呼ばれる群があり、付帯する行列の上に合同関係式を導入することにより与えられる。 自然な準同型 SL(2, Z) → SL(2,

variety）とは代数多様体であってモジュラー曲線の高次元化とみなせるような整数論で重要な対象である。有理数体上の簡約代数群の合同部分群（英語版）(congruence subgroup)によるエルミート対称空間（英語版）(Hermitian symmetric space)の商として定義される。ヒルベルトモジュラ

PSL2 (R) と半単純リー群 G による合同部分群（英語版）(congruence subgroup)や離散部分群(discrete subgroup) Γ を置き換える。まさにモジュラ形式が上半平面の商 H = PSL2 (R)/SO(2)

一般化されたラマヌジャン・ピーターソン予想は、重さkの指数 (k − 1)/2 を持つ同様の定式化を採るが、合同部分群（英語版）(congruence subgroup)の楕円モジュラー形式の理論における正則カスプ形式を扱う。これらの結果も同じくヴェイユ予想の系として得られるが、 k = 1である場合は例外であり、これはDeligne

 Z) の合同部分群 Γ をとは、ある正の整数 N に対し、レベル N の主合同部分群（英語版）(principal congruence subgroup of level N)を含むような部分群のことである。ここで主合同部分群 Γ(N) とは Γ ( N ) = { ( a b c