Tautological line bundle

に内積が与えられていない限り同型の自然な選択は存在しない。これは複素ベクトル束の場合には正しくない、例えばリーマン球面上の普遍直線束（英語版） (tautological line bundle) はその双対と同型でない。 今野宏、『微分幾何学』 東京大学出版会、〈現代数学への入門〉、2013年、ISBN 9784130629713。

は k と一点の違いしかないから、各繊維にその点を添加して、P(V) 上の束にすることができる。この直線束を自然な直線束 (tautological line bundle) と呼ぶ。またこの直線束を O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} と書くこともある（これはセールの捻り層

性質は、3次元における有理四次曲線の例によって示されるように、射影埋め込みに依存する。別の同値な条件は自明直線束（英語版） (tautological line bundle) L によって射影空間上切りだされる V の因子の線型系（英語版）と d = 1, 2, 3, ... に対してその d 乗の言葉による。V

正規化(Normalization): 実射影空間（英語版）(real projective space) P1(R) 上のトートロジーラインバンドル（英語版）(tautological line bundle)のホイットニー類は、非自明である。すなわち、 w ( γ 1 1 ) = 1 + a ∈ H ∗ ( P 1 ( R ) ;

c_{k-i}(W)} である。 公理 4. ： 正規化(Normalization) CPk 上のトートロジカル線束（英語版）(tautological line bundle)の全チャーン類は、1−H であり、ここに H は超平面 C P k − 1 ⊆ C P k {\displaystyle \mathbf