Laplace–Beltrami operator

数学におけるラプラス作用素（ラプラスさようそ、英: Laplace operator）あるいはラプラシアン（英: Laplacian）は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では ∇·∇, ∇2, あるいは ∆ で表されるのが普通である。函数 f の点 p におけるラプラシアン

る。閉じたリーマン多様体におけるラブラス-ベルトラミ作用素（英語: Laplace-Beltrami operator）の場合は最も集中的に研究されてきた、しかしながら、その他の微分幾何学でのラプラス作用素（英語: Laplace operators in differential

}}}}=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star \mathrm {d} ^{2}\star }=0} をみたす。 ラプラス・ド・ラーム作用素(en:Laplace–Beltrami_operator)は ∆ = (δ + d)2 = δd + dδ で与えられ、 ホッジ理論の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち ⟨∆ζ

g|}}g^{ij}{\partial f \over \partial x^{j}})} と定義し、Δをラプラス＝ベルトラミ作用素（英語版）（英: Laplace–Beltrami operator）、あるいは単にラプラシアンという。 発散の定義でマイナスの符号がつく規約を採用した関係で、通常のラプラシアンとは符号が反対