半値幅

半値幅（はんちはば、half width）は、山形の関数の広がりの程度を表す指標。半値全幅 (はんちぜんはば、full width at half maximum, FWHM) と、その半分の値の半値半幅 (half width at half maximum, HWHM) とがある。単に半値幅と言うと半値全幅のことが多い。

半値全幅 (FWHM)

定義

関数 f(x) が、ある箇所の前後で山形の局所的応答を示しているとする。尚、f(x) が不連続な場合などは考えない。もし不連続なときは、近似的な連続関数を考える。

f(x) を、ベースライン関数 b(x) と局所的応答関数 g(x) の和

f(x) = b(x) + g(x)

で表す。山形の広がりの成分は g(x) に含まれ、十分大きい x と十分小さい x （あるいは、±∞ への極限）に対し g(x) = 0 となる。

なお、十分大きい x と十分小さい x に対し f(x) = 0 なら、b(x) = 0 とみなし、

f(x) = g(x)

とすることができる。実用上は、f(x) が上の条件を満たさなくてもこうすることがある。

g(x) の最大値を g_max = g(x_max) とすると、g(x) = g_max/2 を満たす x が2つ以上存在する（g(x) が単峰性なら x_max の左右に1つずつ存在する）。g(x) = g_max/2 を満たす最小の x を x₁、最大の x を x₂ とすると、x₂ - x₁ が半値全幅、(x₂ - x₁)/ 2 が半値半幅である。

半値幅の例

標準偏差 σ の正規分布の半値幅は、

${\displaystyle {\rm {FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.354820\;\sigma }$
${\displaystyle {\rm {HWHM}}={\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 1.177410\;\sigma }$

である。

双曲線正割関数 sech x の半値幅は、

${\displaystyle {\rm {FWHM}}=2\;\operatorname {Sech} ^{-1}{\frac {1}{2}}=2\ln(2+{\sqrt {3}})\approx 2.633916}$
${\displaystyle {\rm {HWHM}}=\operatorname {Sech} ^{-1}{\frac {1}{2}}=\ln(2+{\sqrt {3}})\approx 1.316958}$

である。

幅 a の矩形関数の半値幅は、

FWHM = a

HWHM = a/2

である。なおこの場合、「半」値でなくても常にこの幅になるので、単に「全幅」「半幅」とも言う。

品質係数Qとの関係は、${\displaystyle \omega _{0}}$を共振ピークでの共振周波数とすると

${\displaystyle {\rm {FWHM}}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}$

で表される。

関連項目

• 指向性
• 見かけの等級
• ファン・デームテルの式