純虚指数函数

初等解析学における函数 cis とは、実数 x を複素数 cos(x) + i sin(x) に対応させる関数のことである^[1][2][3][4]。ここで cos は余弦関数、sin は正弦関数、i は虚数単位である。

cis(x) ≔ cos(x) + i sin(x)

"cis" は "cos + i sin" の省略形である。

この函数 cis: R → S¹(⊂ C*) は、複素指数函数 e^z を用いれば、オイラーの公式より

cis(x) = e^ix

と表せる。すなわち純虚変数 ix の指数函数（じゅんきょへんすうのしすうかんすう、英: imaginary exponential function）として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 x の関数であることを強調する上で有用となる。

概観

初めて造語 cis が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトンの著書 Elements of Quaternions (1866)^[5]であり、引き続いてアーヴィング・ストリンガム（英語版）が Uniplanar Algebra (1893)^[6][7]などで、あるいはジェームズ・ハークネス（英語版）とフランク・モーリー が Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)^[7][8]で用いた。

cis関数は、複素数平面においてオイラーの公式を通じて三角関数と複素指数函数とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する^[5][6][1]。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ（例えばインテルの Math Kernel Library (MKL)^[9]）でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語（例えば C, C++,^[10] Common Lisp,^[11][12] D,^[13] Fortran,^[14] Haskell^[15]）およびオペレーティングシステム（例えば Windows, Linux,^[14] macOS や HP-UX^[16]）で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い^[13][17]。

第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は 'cis' や 'exp' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。e^ix2, cis(x²), exp(ix²) を比較してみると、読み手には cis(x²) が見易く読み取り易い^[要出典]。

cos(x) + i sin(x) を cis(x) と表記する cis 記法は、ある種の記憶術 (c,i,s → cos + i sin) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。

性質

複素数 z = x + iy（x, y は実数）に対して、複素指数函数は次の式で表せる：

• exp(z) = exp(x)⋅cis(y)

cis(x) = cos(x) + i sin(x)^[18]と、

cis(−x) = cos(−x) + i sin(−x) = cos(x) − i sin(x)

を連立することにより、cos(x), sin(x) は cis関数で表せる：

• ${\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}$
• ${\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$
• 微分：${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}$^[19]
• 積分：${\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,dz=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}$^[18]

以下はオイラーの公式から直ちに従う：

• ${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}$^[20]
• ${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}$

これらの等式は x, y が任意の複素数として成り立つ。x, y がともに実ならば

${\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|}$^[20]

と評価することができる。

関連項目

• ド・モアブルの定理
• オイラーの公式

参考文献

1. Swokowski, Earl; Cole, Jeffery (2011). Precalculus: Functions and Graphs (12 ed.). Cengage Learning. ISBN 0840068573. 9780840068576. https://books.google.com/books?id=8GB2Udf8wnoC 2016年1月18日閲覧。
2. Simmons, Bruce (2014年7月28日). “Cis”. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2016年1月15日閲覧。
3. Simmons, Bruce (2014年7月28日). “Polar Form of a Complex Number”. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2016年1月15日閲覧。
4. Pierce, Rod (2016年1月4日). “Complex Number Multiplication”. Maths Is Fun. 2016年1月15日閲覧。
5. ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1866-01-01). “II. Fractional powers, General roots of unity”. written at Dublin. In Hamilton, William Edwin. Elements of Quaternions. University Press, Michael Henry Gill, Dublin (printer) (1 ed.). London, UK: Longmans, Green & Co.. pp. 250–257, 260, 262–263. https://archive.org/stream/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ#page/n5/mode/1up 2016年1月17日閲覧. "{{small[…] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]}}" (, )
6. Stringham-1893Irving Stringham (1893-07-01). Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis. 1. C. A. Mordock & Co. (printer) (1 ed.). San Francisco, US: The Berkeley Press. pp. 71-75, 77, 79-80, 82, 84-86, 89, 91-92, 94-95, 100-102, 116, 123, 128-129, 134-135. https://archive.org/details/uniplanaralgebra00stri 2016年1月18日閲覧. "As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ."
7. Florian Cajori (1952). A History of Mathematical Notations. 2 (2 (3rd corrected printing of 1929 issue) ed.). Chicago, US: Open court publishing company. p. 133. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC 2016年1月18日閲覧. "Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley." (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)
8. Harkness-Morley-1898James Harkness; Frank Morley (1898). Introduction to the Theory of Analytic Functions (1 ed.). London, UK: Macmillan and Company. pp. 18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1164070191. 1164070193. https://books.google.com/books?id=W1FLAAAAMAAJ 2016年1月18日閲覧。 (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
9. Intel. “v?CIS”. Intel Developer Zone. 2016年1月15日閲覧。
10. “Intel C++ Compiler Reference”. Intel Corporation. pp. 34, 59-60 (2007年). 2016年1月15日閲覧。
11. “CIS”. Common Lisp Hyperspec. The Harlequin Group Limited (1996年). 2016年1月15日閲覧。
12. “CIS”. LispWorks, Ltd. (2005年). 2016年1月15日閲覧。
13. “std.math: expi”. D programming language. Digital Mars (2016年1月11日). 2016年1月14日閲覧。
14. “Installation Guide and Release Notes”. Intel Fortran Compiler Professional Edition 11.0 for Linux (2008年11月6日). 2016年1月15日閲覧。
15. “CIS”. Haskell reference. ZVON. 2016年1月15日閲覧。
16. “HP-UX 11i v2.0 non-critical impact: Changes to the IPF libm (NcEn843) – CC Impacts enhancement description – Major performance upgrades for power function and performace tuneups”. Hewlett-Packard Development Company, L.P. (2007年). 2016年1月15日閲覧。
17. “Rationale for International Standard - Programming Languages - C”. pp. 114, 117, 183, 186-187 (2003年4月). 2016年6月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年10月17日閲覧。
18. Weisstein, Eric W. "Cis". mathworld.wolfram.com (英語).
19. Fuchs, Martin (2011). “11: Differenzierbarkeit von Funktionen” (German). Analysis I (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Germany´. pp. 3, 13. http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/Ana1/Paragraph11.pdf 2016年1月15日閲覧。
20. Fuchs, Martin (2011). “8.IV: Spezielle Funktionen – Die trigonometrischen Funktionen” (German). Analysis I (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Germany´. pp. 16-20. http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/Ana1/Paragraph8.pdf 2016年1月15日閲覧。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Cis". mathworld.wolfram.com (英語).