純虚指数函数

初等解析学における函数 cis とは、実数 x を複素数 cos(x) + i sin(x) に対応させる関数のことである^[1][2][3][4]。ここで cos は余弦関数、sin は正弦関数、i は虚数単位である。

cis(x) ≔ cos(x) + i sin(x)

"cis" は "cos + i sin" の省略形である。

この函数 cis: R → S¹(⊂ C*) は、複素指数函数 e^z を用いれば、オイラーの公式より

cis(x) = e^ix

と表せる。すなわち純虚変数 ix の指数函数（じゅんきょへんすうのしすうかんすう、英: imaginary exponential function）として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 x の関数であることを強調する上で有用となる。

概観

初めて造語 cis が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトンの著書 Elements of Quaternions (1866)^[5]であり、引き続いてアーヴィング・ストリンガム（英語版）が Uniplanar Algebra (1893)^[6][7]などで、あるいはジェームズ・ハークネス（英語版）とフランク・モーリー が Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)^[7][8]で用いた。

cis関数は、複素数平面においてオイラーの公式を通じて三角関数と複素指数函数とを結びつけるもので、極形式を簡素化したいが、複素指数函数が教育課程で未習の場合、または何らかの理由で用いたくない場合に使用する^[5][6][1]。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ（例えばインテルの Math Kernel Library (MKL)^[9]）でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語（例えば C, C++,^[10] Common Lisp,^[11][12] D,^[13] Fortran,^[14] Haskell^[15]）およびオペレーティングシステム（例えば Windows, Linux,^[14] macOS や HP-UX^[16]）で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い^[13][17]。

第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は 'cis' や 'exp' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。e^ix2, cis(x²), exp(ix²) を比較してみると、読み手には cis(x²) が見易く読み取り易い^[要出典]。

cos(x) + i sin(x) を cis(x) と表記する cis 記法は、ある種の記憶術 (c,i,s → cos + i sin) であり、cis函数について議論する数学者や技術者にとって、本質を強調するために有用となることがある。

性質

複素数 z = x + iy（x, y は実数）に対して、複素指数函数は次の式で表せる：

• exp(z) = exp(x)⋅cis(y)

cis(x) = cos(x) + i sin(x)^[18]と、

cis(−x) = cos(−x) + i sin(−x) = cos(x) − i sin(x)

を連立することにより、cos(x), sin(x) は cis関数で表せる：

• ${\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}$
• ${\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$
• 微分：${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}$^[19]
• 積分：${\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,dz=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}$^[18]

以下はオイラーの公式から直ちに従う：

• ${\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}$^[20]
• ${\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}$

これらの等式は x, y が任意の複素数として成り立つ。x, y がともに実ならば

${\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|}$^[20]

と評価することができる。

関連項目

• ド・モアブルの定理
• オイラーの公式