1の補数

負の数の表現

1の補数を用いて二進数を負の整数に対応づけられる。1の補数の定義より、 $n$ 桁の二進数 $x$ とその補数 $x c$ は以下の関係を満たす：

x+x_{\mathrm {c} }=2^{n}-1\,.

右辺の $2 n - 1$ の倍数を $0$ と同一視すれば、上記の関係は以下のように解釈できる：

x+x_{\mathrm {c} }\equiv 0\,.

これは $x$ の補数 $x c$ を $x$ の反数 $- x$ と見なすことを意味する。

y-x\equiv y+x_{\mathrm {c} }\,.

1の補数表現

要約

視点

#負の数の表現節の方法で反数および減法が定義されているとする。更に $0$ から $2 n - 1 - 1$ までの非負整数をそのまま通常の位取り記数法における二進表示、

0_{2},1_{2},{10}_{2},\dots ,\underbrace {011\cdots 11} _{n{\text{桁}}}{}_{2}

に対応づければ、これらの数の補数として負の整数に対する1の補数表現が得られる。

具体例として、 $n = 4$ 桁の二進数における対応表を以下に示す:

さらに見る 対応する整数, 二進数 ...

$24$ についての1の補数表現における、二進数と対応する整数の一覧
対応する整数	二進数	対応する整数	二進数
$0$	$00002$	$0$	$11112$
$1$	$00012$	$- 1$	$11102$
$2$	$00102$	$- 2$	$11012$
$3$	$00112$	$- 3$	$11002$
$4$	$01002$	$- 4$	$10112$
$5$	$01012$	$- 5$	$10102$
$6$	$01102$	$- 6$	$10012$
$7$	$01112$	$- 7$	$10002$

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結局、 $n$ 桁の二進数の $k + 1$ 桁目の値を $b k \in {0, 1}$ とすれば、1の補数表現は以下のように表せる：

{b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_{1}b_{0}}_{(2)}\mapsto \sum _{k=0}^{n-2}{b_{k}\cdot 2^{k}}-b_{n-1}\cdot (2^{n-1}-1)\,.

1の補数で表される数は、対応する二進数表示の最上位の値 $b n - 1$ が $0$ なら負でない値を取り、 $1$ なら正でない値を取る。

1の補数表現において、二進数をビット列とみなせば、符号の反転はビット列 $x$ のビットを反転^{[注 2]}することによって行える。 $x$ とそれをビット反転させた $f x$ は常に以下を満たす：

x+{}^{\mathrm {f} }x\equiv 0\,.

上記より、 $x$ の1の補数は $x c = f x$ と表せる。従って減法は、

y-x\equiv y+{}^{\mathrm {f} }x

と書き換えられる。ビット反転が反数に対応することから、 $0$ は $000...00 2$ と $111...11 2$ の2つの表現方法を持つ。

脚注

負の数の表現