非対称関係

非対称関係（英: Asymmetric relation）とは、対称的でない二項関係を意味する。

場合によっては、次のような狭い意味の定義をされることがある。X における関係 R が非対称であるとは、X の属する全ての元 a および b について、a から b への関係が成り立つときは b から a への関係が成り立たない場合である^[1]。数学的に表すと次のようになる。

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)}$

この意味の非対称関係は、反対称的であると同時に非反射的である。

推移関係では、非対称性と非反射性は等価である。この場合の非対称性は上の狭い意味の定義を包含するが、逆は成り立たない。空の関係は、後者の意味で非対称であると同時に対称でもある。

注釈

1. この性質をみたす関係を「非対称関係」と呼ぶことには、国語表現上の妥当性に疑義がある。この性質を「非反射的反対称律」と名づけている文献も存在する（嘉田勝『論理と集合から始める数学の基礎』日本評論社、2008年、124ページ）。

関連項目

• 対称性
• 左右非対称