等エントロピー過程

等エントロピー過程（isentropic process）とは、系のエントロピーが一定な熱力学過程^[1][2]。任意の可逆断熱過程は等エントロピー過程であることを証明できる。

背景

熱力学第二法則によれば次が成り立つ。

${\displaystyle \delta Q\leq TdS}$

ここで、${\displaystyle \delta Q}$は加熱によって系が獲得するエネルギー量、${\displaystyle T}$は系の温度、${\displaystyle dS}$はエントロピーの変化量である。等号があるのは、可逆過程の場合を意味している。可逆等エントロピー過程では、外部との熱エネルギーのやりとりがないので、断熱過程でもある。非可逆過程の場合、エントロピーは増大する。したがって系から熱を奪う（冷却する）ことで内部エントロピーを一定に保ち、等エントロピーな非可逆過程とする。したがって、非可逆等エントロピー過程は断熱過程ではない。

可逆過程の場合、等エントロピー変化は周囲の環境からその系を熱的に「絶縁」することでなされる。温度はエントロピーの熱力学的共役変数であり、したがって共役過程は等温過程である。等温過程では系は外界（恒温槽）と熱的に「接続」されている。

等エントロピー流

等エントロピー流 (isentropic flow) は、断熱的で可逆な流れである。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、摩擦や散逸によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。

等エントロピー関係式の導出

閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。

${\displaystyle dU=dW+dQ\,\!}$

体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。

${\displaystyle dW=-pdV\,\!}$

ここで${\displaystyle p}$は圧力、${\displaystyle V}$は体積である。エンタルピー (${\displaystyle H=U+pV\,\!}$) の変化は次のようになる。

${\displaystyle dH=dU+pdV+Vdp=nC_{p}dT\,\!}$

可逆過程は断熱過程なので（すなわち、熱を外界とやり取りしない）、${\displaystyle dQ=0,dS=0\,\!}$ である。ここから次の重要な2つの式が導出される。

${\displaystyle dU=-pdV\,\!}$, および

${\displaystyle dH=Vdp\,\!}$ または ${\displaystyle dQ=dH-Vdp=0\,\!}$

${\displaystyle dQ=TdS\,\!}$ ⇒ ${\displaystyle dS=(1/T)dH-(V/T)dp\,\!}$

すると、比熱比は次のようになる。

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}\,\!}$

理想気体では${\displaystyle \gamma \,\!}$は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。

${\displaystyle pV^{\gamma }={\mbox{constant}}\,}$ であるから

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$

理想気体の状態方程式 ${\displaystyle pV=nRT\,\!}$ を使うと、次のようになる。

${\displaystyle TV^{\gamma -1}={\mbox{constant}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\mbox{constant}}}$

また、${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$（モル単位）が成り立つので、

${\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}$ かつ ${\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}$

${\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。

${\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}}$ または ${\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}$

理想気体の等エントロピー関係式一覧

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma }}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$
${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{(\gamma -1)}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(\gamma -1)}}$
${\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$
${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}}$	${\displaystyle =\,\!}$	${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}$

前提は次の通り。

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}}\,\!}$

${\displaystyle pV=mR_{s}T\,\!}$

${\displaystyle p=\rho R_{s}T\,\!\,\!}$

ここで:

${\displaystyle p\,\!}$ = 圧力

${\displaystyle V\,\!}$ = 体積

${\displaystyle \gamma \,\!}$ = 比熱比 = ${\displaystyle C_{p}/C_{v}\,\!}$

${\displaystyle T\,\!}$ = 温度

${\displaystyle m\,\!}$ = 質量

${\displaystyle R_{s}\,\!}$ = 特定の気体の気体定数 = ${\displaystyle R/M\,\!}$

${\displaystyle R\,\!}$ = 標準気体定数

${\displaystyle M\,\!}$ = 特定の気体の分子量

${\displaystyle \rho \,\!}$ = 密度

${\displaystyle C_{p}\,\!}$ = 定圧比熱

${\displaystyle C_{v}\,\!}$ = 定積比熱

参考文献

• Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E. (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York. Library of Congress Calatog Card Number: 65-19470

脚注・出典

1. Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E., Fundamentals of Classical Thermodynamics, Section 7.4
2. Massey, B.S. (1970), Mechanics of Fluids, Section 12.2 (2nd edition) Van Nostrand Reinhold Company, London. Library of Congress Catalog Card Number: 67-25005

関連項目

• 断熱過程