単一基質酵素がミカエリス・メンテン反応速度論に従う最も単純な場合における典型的なスキームである
は、遊離酵素への阻害剤の結合を含めて修正される。
ここで留意すべきは、阻害剤はES複合体へ結合せず、基質はEI複合体に結合しないことである。この挙動は両方の化合物が同じ部位へ結合していることを示すものであると一般的に見なされているが、これは厳密に必須ではない。ミカエリス・メンテン式の導出と同様に、系は定常状態、すなわちそれぞれの酵素種の濃度は変化しない仮定する。
![{\displaystyle {\frac {d[E]}{dt}}={\frac {d[ES]}{dt}}={\frac {d[EI]}{dt}}=0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268777cfb0aa902787812bbb71d192f24b85464d)
さらに、既知の酵素総濃度は![{\displaystyle [E]_{0}=[E]+[ES]+[EI]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e7fcec01c7884f769ae9c075e6d1a4911f42d7)
、反応速度は基質および阻害剤濃度が実質的に変化しない条件下で測定され、わずかな量の生成物が蓄積しているとする。
したがって、系について以下の式が成り立つ。
![{\displaystyle [E]_{0}=[E]+[ES]+[EI]\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978d6a7643aa47348cfce3f507afb7841b127048)
(1)
![{\displaystyle {\frac {d[E]}{dt}}=0=-k_{1}[E][S]+k_{-1}[ES]+k_{2}[ES]-k_{3}[E][I]+k_{-3}[EI]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9965a57f03834ac7b5cde88df11e71be46057435)
(2)
![{\displaystyle {\frac {d[ES]}{dt}}=0=k_{1}[E][S]-k_{-1}[ES]-k_{2}[ES]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51adba7afebf52de85559de2f95bc1ee080094a0)
(3)
![{\displaystyle {\frac {d[EI]}{dt}}=0=k_{3}[E][I]-k_{-3}[EI]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c24cc7debf78e40ee442845a6bb0e8cc078aadf)
(4)
上式において![{\displaystyle [S]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bbb82029aa583c5d2ac5fa1d7e4fedf537d8b)
、![{\displaystyle [I]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5962300a54e8ce8b5761dac9a5fbbca450c2ce0f)
、![{\displaystyle [E]_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409eb69aba4c3afa67a48af6d9f976a28445c544)
は既知である。反応初速度は![{\displaystyle V_{0}=d[P]/dt=k_{2}[ES]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46255eb4443a618d59991823c0c26a019eb1422e)
と定義されるため、未知の![{\displaystyle [ES]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31639ab6b9c7c728139b5f8ce03991d800ac7741)
を既知の、、の観点から定義する必要がある。
式 (3) から、
![{\displaystyle k_{1}[E][S]=(k_{-1}+k_{2})[ES]\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f920641b7d4ee0c9c57a53ebd2a43cca9cea0a)
を変形することによって、EをESを単位として定義することができる。
両辺を![{\displaystyle k_{1}[S]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2a483dc97db9519f165c7f706ef334bddac55b)
で割ると、
![{\displaystyle [E]={\frac {(k_{-1}+k_{2})[ES]}{k_{1}[S]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeace436c65cee7869e60b931f05cb1de334232)
となる。
ミカエリス・メンテン式の導出と同様に、
項は巨視的速度定数
で置き換えることができる。
![{\displaystyle [E]={\frac {K_{m}[ES]}{[S]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28bfe1a299584c50be6bff337c20855c3567a52)
(5)
式 (5) を式 (4) へ置換すると、
![{\displaystyle 0={\frac {k_{3}[I]K_{m}[ES]}{[S]}}-k_{-3}[EI]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54314972d85eabd9bb831f44a0737f4f7123e69)
変形すると、
![{\displaystyle [EI]={\frac {K_{m}k_{3}[I][ES]}{k_{-3}[S]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668346ee94b193f238b09e941bcfe0a7ccc0fcfb)
となる。
この時点で、
として阻害剤の解離定数を定義することができ、
![{\displaystyle [EI]={\frac {K_{m}[I][ES]}{K_{i}[S]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa68e2d01ebf1553c7e6c30996f3509b84ac1cb)
(6)
となる。
この時点で、式 (5) と式 (6) を式 (1) へ置換する。
![{\displaystyle [E]_{0}={\frac {K_{m}[ES]}{[S]}}+[ES]+{\frac {K_{m}[I][ES]}{K_{i}[S]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2c23abf3e9cc29f2d34091e793b1b10fbcdde6)
ESについて式を解くと以下の式が得られる。
![{\displaystyle [E]_{0}=[ES]\left({\frac {K_{m}}{[S]}}+1+{\frac {K_{m}[I]}{K_{i}[S]}}\right)=[ES]{\frac {K_{m}K_{i}+K_{i}[S]+K_{m}[I]}{K_{i}[S]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195800a9b1300f606542d148f00b7e988ad3e2fa)
![{\displaystyle [ES]={\frac {K_{i}[S][E]_{0}}{K_{m}K_{i}+K_{i}[S]+K_{m}[I]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd2ed9ccebf668a3c52cb85c33195dad2bf6ded)
(7)
したがって、
は
![{\displaystyle V_{0}=k_{2}[ES]={\frac {k_{2}K_{i}[S][E]_{0}}{K_{m}K_{i}+K_{i}[S]+K_{m}[I]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55aaeac269215ee73c3821657474a1b1e6b11ed6)
![{\displaystyle V_{0}={\frac {k_{2}[E]_{0}[S]}{K_{m}+[S]+K_{m}{\frac {[I]}{K_{i}}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b2b90966cc2ce55ec35fde318bdcc2e984694b)
となる。
反応速度は全ての酵素が酵素-基質複合体として結合している時に最大となるため、
![{\displaystyle V_{\max }=k_{2}[E]_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5602a3aa76c4c8e94949a07b8c7760704df376)
である。
項を置換し組み合わせると最終的に以下の慣習的な形式が得られる。
![{\displaystyle V_{0}={\frac {V_{\max }[S]}{K_{m}(1+{\frac {[I]}{K_{i}}})+[S]}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d69ec63802605dd919b1ce1dcdc80ecf98122c)
(8)
![{\displaystyle V_{0}={\frac {V_{\max }\,[S]}{K_{m}^{\text{app}}+[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6ea985b759c13c54c08b2e1a1f7b292c549beb)
![{\displaystyle K_{m}^{\text{app}}=K_{m}(1+[I]/K_{i})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e013bb3d416acd07c0c55ee196d46e9ede190a63)
![{\displaystyle [I]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5962300a54e8ce8b5761dac9a5fbbca450c2ce0f)
![{\displaystyle {\frac {d[E]}{dt}}={\frac {d[ES]}{dt}}={\frac {d[EI]}{dt}}=0.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268777cfb0aa902787812bbb71d192f24b85464d)
![{\displaystyle [E]_{0}=[E]+[ES]+[EI]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e7fcec01c7884f769ae9c075e6d1a4911f42d7)
![{\displaystyle [E]_{0}=[E]+[ES]+[EI]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978d6a7643aa47348cfce3f507afb7841b127048)
![{\displaystyle {\frac {d[E]}{dt}}=0=-k_{1}[E][S]+k_{-1}[ES]+k_{2}[ES]-k_{3}[E][I]+k_{-3}[EI]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9965a57f03834ac7b5cde88df11e71be46057435)
![{\displaystyle {\frac {d[ES]}{dt}}=0=k_{1}[E][S]-k_{-1}[ES]-k_{2}[ES]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51adba7afebf52de85559de2f95bc1ee080094a0)
![{\displaystyle {\frac {d[EI]}{dt}}=0=k_{3}[E][I]-k_{-3}[EI]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c24cc7debf78e40ee442845a6bb0e8cc078aadf)
![{\displaystyle [S]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292bbb82029aa583c5d2ac5fa1d7e4fedf537d8b)
![{\displaystyle [E]_{0}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409eb69aba4c3afa67a48af6d9f976a28445c544)
![{\displaystyle V_{0}=d[P]/dt=k_{2}[ES]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46255eb4443a618d59991823c0c26a019eb1422e)
![{\displaystyle [ES]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31639ab6b9c7c728139b5f8ce03991d800ac7741)
![{\displaystyle k_{1}[E][S]=(k_{-1}+k_{2})[ES]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f920641b7d4ee0c9c57a53ebd2a43cca9cea0a)
![{\displaystyle k_{1}[S]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2a483dc97db9519f165c7f706ef334bddac55b)
![{\displaystyle [E]={\frac {(k_{-1}+k_{2})[ES]}{k_{1}[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeace436c65cee7869e60b931f05cb1de334232)
![{\displaystyle [E]={\frac {K_{m}[ES]}{[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28bfe1a299584c50be6bff337c20855c3567a52)
![{\displaystyle 0={\frac {k_{3}[I]K_{m}[ES]}{[S]}}-k_{-3}[EI]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54314972d85eabd9bb831f44a0737f4f7123e69)
![{\displaystyle [EI]={\frac {K_{m}k_{3}[I][ES]}{k_{-3}[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668346ee94b193f238b09e941bcfe0a7ccc0fcfb)
![{\displaystyle [EI]={\frac {K_{m}[I][ES]}{K_{i}[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa68e2d01ebf1553c7e6c30996f3509b84ac1cb)
![{\displaystyle [E]_{0}={\frac {K_{m}[ES]}{[S]}}+[ES]+{\frac {K_{m}[I][ES]}{K_{i}[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2c23abf3e9cc29f2d34091e793b1b10fbcdde6)
![{\displaystyle [E]_{0}=[ES]\left({\frac {K_{m}}{[S]}}+1+{\frac {K_{m}[I]}{K_{i}[S]}}\right)=[ES]{\frac {K_{m}K_{i}+K_{i}[S]+K_{m}[I]}{K_{i}[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195800a9b1300f606542d148f00b7e988ad3e2fa)
![{\displaystyle [ES]={\frac {K_{i}[S][E]_{0}}{K_{m}K_{i}+K_{i}[S]+K_{m}[I]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd2ed9ccebf668a3c52cb85c33195dad2bf6ded)
![{\displaystyle V_{0}=k_{2}[ES]={\frac {k_{2}K_{i}[S][E]_{0}}{K_{m}K_{i}+K_{i}[S]+K_{m}[I]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55aaeac269215ee73c3821657474a1b1e6b11ed6)
![{\displaystyle V_{0}={\frac {k_{2}[E]_{0}[S]}{K_{m}+[S]+K_{m}{\frac {[I]}{K_{i}}}}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b2b90966cc2ce55ec35fde318bdcc2e984694b)
![{\displaystyle V_{\max }=k_{2}[E]_{0}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5602a3aa76c4c8e94949a07b8c7760704df376)
![{\displaystyle V_{0}={\frac {V_{\max }[S]}{K_{m}(1+{\frac {[I]}{K_{i}}})+[S]}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d69ec63802605dd919b1ce1dcdc80ecf98122c)