積率母関数

確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で定義される。

${\displaystyle M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} }$

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。

${\displaystyle E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0)}$

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ の場合、${\displaystyle tX}$ の代わりに ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}\equiv {\boldsymbol {t}}^{\intercal }{\boldsymbol {X}}}$ を使い、次のように定義する。

${\displaystyle M_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}}):=E\left(e^{{\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}}\right)}$

計算

積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。

${\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}$

ここで F は累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、${\displaystyle M_{X}(-t)}$ は f(x) の両側ラプラス変換である。

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\dotsb \right)f(x)\,\mathrm {d} x\\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\dotsb \end{aligned}}}$

ここで、${\displaystyle m_{i}}$ は i番目のモーメントである。

2つの独立確率変数の和

2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。

${\displaystyle M_{X+Y}(t)=E\left(e^{t(X+Y)}\right)=E(e^{tX})E(e^{tY})=M_{X}(t)M_{Y}(t)}$

独立確率変数の総和(一般化)

X₁, X₂, ..., X_n が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

としたとき（a_i は定数）、S_n の確率密度関数はそれぞれの X_i の確率密度関数の畳み込みとなり、S_n の積率母関数は次のようになる。

${\displaystyle M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\dotsb M_{X_{n}}(a_{n}t).}$

他の関数との関係

積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。

特性関数

特性関数 ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ と積率母関数は ${\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it)}$ という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。

キュムラント母関数

キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。

確率母関数

確率母関数は ${\displaystyle G(z)=E[z^{X}]\,}$ で定義される。したがって、${\displaystyle G(e^{t})=E[e^{tX}]=M_{X}(t)\,}$ である。

具体例

分布	積率母関数 ${\displaystyle M_{X}(t)}$
二項分布 ${\displaystyle B(n,p)}$	${\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}}$
コーシー分布	存在しない[1]。
指数分布 ${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )}$	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -t}}}$ for ${\displaystyle t<\lambda }$
正規分布 ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}}$
ポアソン分布 ${\displaystyle Po(\lambda )}$	${\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}$

注

1. Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Chapter 8, Example 8.2.