渦度・流れ関数法

渦度・流れ関数法とは、2次元非圧縮性ナビエ・ストークス方程式（NS方程式）の未知変数を減らして解析を簡単にするための手法のひとつ。NS方程式には未知変数がx 方向速度、y 方向速度、圧力の3つあるが、これを渦度ζと流れ関数ψの2つにする方法である。

導出

次の2式から始める：

2次元非圧縮性NS方程式

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {u}}}$

連続の式

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0}$

以上の2式には、未知変数が速度u のx 方向成分、y 方向成分、および圧力の3つある。NS方程式の回転をとり、連続の式と連立させることによって、次の渦度輸送方程式を導くことができる:

${\displaystyle {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla )\zeta =\nu \nabla ^{2}\zeta }$

ここで、ζは渦度である^[1]：

${\displaystyle \zeta =\operatorname {rot} {\boldsymbol {u}}}$

さらに流れ関数ψを、次式を満たす関数と定義する：

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)}$

すると次の式に書き換えることができる：

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \zeta }{\partial y}}=\nu \nabla ^{2}\zeta }$：渦度輸送方程式

上式は未知変数が渦度ζと流れ関数ψの2つだけであり、元のNS方程式に比べ、解析が簡単になる。