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数学の分野において、ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数(ゆうかいかんすう、英: bounded function)であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して
が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。
しばしば、X 内のすべての x に対して が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる(bounded above)と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる(bounded below)と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。
(しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども)この概念は、有界作用素のそれと混同しないように注意するべきである。
有界函数の概念の重要で特別な場合として、X を自然数全体の集合 N と取って有界数列(bounded sequence)が考えられる。すなわち、ある数列 (a0, a1, a2 , ...) が有界であるとは、ある実数 M が存在して、すべての自然数 n に対して
が成立することを言う。有界数列すべてからなる集合(にベクトル空間の構造を入れたもの)は数列空間を成す。
この定義は、距離空間 Y に値を取る函数へと拡張することが出来る。ある集合 X 上で定義される函数 f が有界であるとは、Y 内のある a に対して適当な実数 M を取れば、距離函数 d で測った a と f(x) との距離が M 以下にできること、すなわち
が X 内のすべての x に対して成立することを言う。この場合、a を他の任意の点に取り換えても、三角不等式により、同様な性質を持つ M を取ることができる。
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