分数 （ぶんすう、英 : fraction [注 1] 数 の間の割り算 の商を表す数の記法である。例えば a を b (≠ 0)a ÷ b a / b
1 個のケーキから 4 分の 1 （1 / 4 3 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 日常的には 9 / 16 正 の整数 の分数がよく使われるが、分数で表される数に制限はなく、例えば 1 / √ 2 π / 2 無理数 （より一般に実数 ）を含んだり、h / 2π i 虚数 （より一般に複素数 ）を含んでもよい。また定数 に限らず 1 / r 2 x / √ x 2 + y 2 変数 を含んでもよい。
通常の算術 において、2つの数の間の割り算 は分数で表される。
分数は上下2つに分けて書いた数とその間の線によって表される。分数表記において、被除数にあたる数を分子 （ぶんし、英 : numerator ）、除数にあたる数を分母 （ぶんぼ、英 : denominator ）と呼ぶ。分数の表記法はいくつかあるが、一般的には下記のように横線を引き、分子 n を線の上、分母 d を線の下に書く：
n
d
{\displaystyle {\frac {n}{d}}}
あるいは文中などにおいて、以下のように斜線を引くこともある：
n
/
d
{\displaystyle n/d}
これは逆向きに
d
∖
n
{\displaystyle d\backslash n}
とも書かれる[ 要検証 – ノート ]
分数 n / d d 分 （ ぶん ） n 」と読む（例：1 / 5 五分の一 （ ごぶんのいち ） 5 / 12 十二分の五 （ じゅうにぶんのご ） [2] n 割る d 」とも読む[2]
英語では一般に n over d n divided by d [2] 整数 の場合には n -d -th(s)1 / 5 one-fifth , 5 / 12 five-twelfths ）。分母は序数詞 と同じように読み、また分子が 1 以外の場合は複数形 として扱う。例外として、分母が 2 の場合には half を用い（例：1 / 2 one half または a half , 3 / 2 three halves ）、分母が 4 の場合には quarter と fourth のいずれも用い得る（例：1 / 4 one quarter または one-fourth ）。分子は基数詞 と同じように読む。
帯分数 k + n / d k と d 分の n 」または「k 荷 （ か ） d 分の n 」と読む[3]
明治初期の教科書では「か」であったが、その後西洋風に（英語ではこの部分を and と読むように）「と」と読ませる教科書も現れた。1905年以降の教科書では、1910年から1937年までと1950年代のもので「と」と「か」が併用されていたほかは、「と」と読ませている[4]
分子と分母が 1 以外に共通の因数を持たない分数を既約分数 （きやくぶんすう、英 : irreducible fraction ）という（例：2 / 3 5 / 6 n / d irreducible ）である」とは分子 n と d が互いに素 （最大公約数 が 1 ）であることを意味する。
反対に、ある分数が既約でないことを可約 （かやく、英 : reducible ）または約分可能 という（例：2 / 4 4 / 6 約分 （やくぶん、英 : reduction ）あるいは簡約 （かんやく）という。
分数 N / D N と分母 D は 1 でない最大公約数 g を持ち、
N
=
g
⋅
n
D
=
g
⋅
d
{\displaystyle {\begin{aligned}N&=g\cdot n\\D&=g\cdot d\end{aligned}}}
と因数分解 できる。従って、以下のように分数 N / D n / d
N
D
=
g
⋅
n
g
⋅
d
=
n
d
{\displaystyle {\frac {N}{D}}={\frac {{\cancel {g}}\cdot n}{{\cancel {g}}\cdot d}}={\frac {n}{d}}}
整数の分数に限らず、分子分母が因数分解できるなら約分できる。例えば分子分母が不定元 x の多項式 の分数（有理式 ）について、
x
3
−
5
x
2
+
8
x
−
4
x
3
−
x
2
−
8
x
+
12
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
2
(
x
+
3
)
(
x
−
2
)
2
=
x
−
1
x
+
3
{\displaystyle {\frac {x^{3}-5x^{2}+8x-\;4}{x^{3}\,-\,\;x^{2}-8x+12}}={\frac {(x-1){\cancel {(x-2)^{2}}}}{(x+3){\cancel {(x-2)^{2}}}}}={\frac {x-1}{x+3}}}
のように約分できる[注 2]
分子が 1 で分母が正 の整数 の分数を単位分数 （たんいぶんすう、英 : unit fraction ）という。例えば 1 / 3 5 / 6
異なる有限個の単位分数の和をエジプト式分数 5 / 6 1 / 2 1 / 3
以下の形式の数の表示を連分数 英 : continued fraction ）という。
a
0
+
b
1
a
1
+
b
2
a
2
+
b
3
a
3
+
⋯
{\displaystyle a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\cdots }}}}}}}
連分数は分母が数と分数の和として再帰 的に表された分数である。通常、分子 bi および要素 ai の範囲は正 の整数 に限られる。特に分子 bi がすべて 1 の連分数を正則連分数 または単純連分数 と呼ぶ。
連分数に含まれる要素 ai の個数が n + 1n 階の連分数と呼ぶ。連分数の階数は有限の場合も無限の場合もあり得る。
真分数と仮分数 絶対値 が 1 より小さい分数を真分数 （しんぶんすう、英 : proper fraction ）という。すなわち、分子の絶対値が分母の絶対値より小さな分数を真分数と呼ぶ（例：1 / − 22 / 3 − 3/ − 5仮分数 （かぶんすう、英 : improper fraction ）という（例：− 2/ 1 2 / 2 − 5/ − 3n / d n を分母 d の倍数 と d で割った余り r の和 n = kd + r | r | < | d |
n
d
=
k
d
+
r
d
=
k
d
d
+
r
d
=
k
+
r
d
{\displaystyle {\frac {n}{d}}={\frac {kd+r}{d}}={\frac {k{\cancel {d}}}{\cancel {d}}}+{\frac {r}{d}}=k+{\frac {r}{d}}}
となる（例：2 / 2 0 / 2 5 / 3 2 / 3
整数と真分数 の和
k
+
n
d
{\displaystyle k+{\frac {n}{d}}}
から足し算 の記号 + を省略した表記
k
n
d
{\displaystyle k{\frac {n}{d}}}
を帯分数 （たいぶんすう、英 : mixed number ）という。
代数学 における一般的な規約として、掛け算 の記号を省略するため、帯分数は掛け算と混同される恐れがある。k + n / d k × n / d k + n / d
分子または分母が分数で表される分数を繁分数 （はんぶんすう、英 : compound fraction, complex fraction ）という。例えば、
a
b
c
,
b
c
a
,
a
b
c
d
{\displaystyle {\frac {\;a\;}{\;{\tfrac {b}{c}}\;}},\quad {\frac {\;{\tfrac {b}{c}}\;}{\;a\;}},\quad {\frac {\;{\tfrac {a}{b}}\;}{\;{\tfrac {c}{d}}\;}}}
や
a
b
+
c
d
,
b
+
c
d
a
,
a
+
b
c
d
+
e
f
{\displaystyle {\frac {\;a\;}{b+\;{\tfrac {c}{d}}\;}},\quad {\frac {\;b+{\tfrac {c}{d}}\;}{\;a\;}},\quad {\frac {\;a+{\tfrac {b}{c}}\;}{\;d+{\tfrac {e}{f}}\;}}}
はいずれも繁分数である。
繁分数は通常の分数に書き直すことができる。0でない数 x について x / x
a
b
c
=
a
b
c
×
c
c
=
a
×
c
b
c
×
c
=
a
c
b
{\displaystyle {\frac {\;a\;}{\;{\tfrac {b}{c}}\;}}={\frac {\;a\;}{\;{\tfrac {b}{c}}\;}}\times {\frac {c}{c}}={\frac {a\times c}{{\tfrac {b}{\cancel {c}}}\times {\cancel {c}}}}={\frac {ac}{b}}}
のように書き換えられる。
3
4
+
1
4
=
1
(
=
4
4
)
{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {1}{4}}=1\,(={\tfrac {4}{4}})}
4
4
−
1
4
=
3
4
{\displaystyle {\tfrac {4}{4}}-{\tfrac {1}{4}}={\tfrac {3}{4}}}
同値
2つの分数 a / b c / d
a
d
−
b
c
=
0
⟺
a
b
=
c
d
.
{\displaystyle ad-bc=0\iff {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\,.}
特に、2つの分数 (− a ) / b a / (− b ) − a / b
(
−
a
)
(
−
b
)
−
b
a
=
0
⟺
(
−
a
)
b
=
a
(
−
b
)
=
−
a
b
.
{\displaystyle (-a)(-b)-ba=0\iff {\frac {(-a)}{b}}={\frac {a}{(-b)}}=-{\frac {a}{b}}\,.}
乗法
2つの分数 a / b c / d 掛け算 は以下のようになる：
a
b
⋅
c
d
=
a
⋅
c
b
⋅
d
=
a
c
b
d
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}={\frac {ac}{bd}}\,.}
同様に分数 a / b c の掛け算は以下のようになる：
a
b
⋅
c
=
a
⋅
c
b
=
a
c
b
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot c={\frac {a\cdot c}{b}}={\frac {ac}{b}}\,.}
逆数
0 でない分数 a / b 逆数 [注 3] b / a
a
b
⋅
b
a
=
1
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1\,.}
特に 0 でない数 a の逆数は 1 / a
a
⋅
1
a
=
1
.
{\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1\,.}
除法
2つの分数 a / b c / d 割り算 は被除数 a / b d / c
a
b
÷
c
d
=
a
b
⋅
d
c
=
a
d
b
c
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}\,.}
同様に分数 a / b c の割り算は以下のようになる：
a
b
÷
c
=
a
b
⋅
1
c
=
a
b
c
c
÷
a
b
=
c
1
⋅
b
a
=
b
c
a
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}\div c={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}&={\frac {a}{bc}}\\c\div {\frac {a}{b}}={\frac {c}{1}}\cdot {\frac {b}{a}}&={\frac {bc}{a}}\,.\end{aligned}}}
加法・減法
2つの分数 a / b c / d 足し算 と引き算 はそれぞれ以下のようになる：
a
b
+
c
d
=
a
d
b
d
+
b
c
b
d
=
a
d
+
b
c
b
d
,
a
b
−
c
b
=
a
d
b
d
−
b
c
b
d
=
a
d
−
b
c
b
d
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}&={\frac {ad+bc}{bd}}\,,\\{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{b}}={\frac {ad}{bd}}-{\frac {bc}{bd}}&={\frac {ad-bc}{bd}}\,.\end{aligned}}}
特に分母の等しい2つの分数 a / b c / b
a
b
+
c
b
=
a
+
c
b
,
a
b
−
c
b
=
a
−
c
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{b}}&={\frac {a+c}{b}}\,,\\{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{b}}&={\frac {a-c}{b}}\,.\end{aligned}}}
分母 b と d が共通因数 r を持ち、b = rp d = rq
a
r
p
+
c
r
q
=
a
q
+
p
c
r
p
q
,
a
r
p
−
c
r
q
=
a
q
−
p
c
r
p
q
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{rp}}+{\frac {c}{rq}}&={\frac {aq+pc}{rpq}}\,,\\{\frac {a}{rp}}-{\frac {c}{rq}}&={\frac {aq-pc}{rpq}}\,.\end{aligned}}}
同様に分数 a / b c の足し算と引き算は以下のようになる：
a
b
+
c
=
a
+
b
c
b
,
a
b
−
c
=
a
−
b
c
b
,
c
−
a
b
=
b
c
−
a
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+c\ &={\frac {a+bc}{b}}\,,\\{\frac {a}{b}}-c\ &={\frac {a-bc}{b}}\,,\\c-{\frac {a}{b}}&={\frac {bc-a}{b}}\,.\end{aligned}}}
2つの分数 a / b c / d 不等式 を満たす場合、
c
d
−
a
b
≥
0
,
b
c
−
a
d
≥
0
,
{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {c}{d}}&{}-{\frac {a}{b}}&{}\geq 0&\,,\\[0.5em]bc&{}-ad&{}\geq 0&\,,\end{alignedat}}}
以下の不等式が成り立つ：
c
d
≥
a
+
c
b
+
d
≥
a
b
.
{\displaystyle {\frac {c}{d}}\geq {\frac {a+c}{b+d}}\geq {\frac {a}{b}}\,.}
また、いずれか一つが 0 でない非負の数 p , q ≥ 0
c
d
≥
p
a
+
q
c
p
b
+
q
d
≥
a
b
.
{\displaystyle {\frac {c}{d}}\geq {\frac {pa+qc}{pb+qd}}\geq {\frac {a}{b}}\,.}
不等式の等号が成立するのは2つの分数が等しい（a / b c / d
a
b
=
c
d
⟹
a
b
=
a
+
c
b
+
d
=
c
d
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\implies {\frac {a}{b}}={\frac {a+c}{b+d}}={\frac {c}{d}}\,.}
この性質は加比の理 （ かひのり ）
分数 a / b 幾何学 的に平面 上の直交座標系 の原点を通る直線 の傾き と見なせ、分子と分母はその直線上の点 (x , y ) = (b , a ) に対応する。分数 a + c / b + d ベクトル A → b , a )B → d , c )(b + d , a + c ) の傾き、すなわち線分 A → B → 平行四辺形 の原点を共有する対角線 の傾きに対応する。
1つ目の不等式 c / d − a / b ≥ 0bc − ad ≥ 0ベクトル積 A → × B → A → B → A → 反時計回り の向き）に作図されることを表す。
2つの不等式から bd > 0b , d , b + d
b
c
−
a
d
=
b
c
+
(
c
d
−
c
d
)
−
a
d
=
(
b
+
d
)
c
−
(
a
+
c
)
d
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}bc-ad&=bc+(cd-cd)-ad\\&=(b+d)c-(a+c)d\geq 0\end{aligned}}}
および
b
c
−
a
d
=
b
c
+
(
a
b
−
a
b
)
−
a
d
=
(
a
+
c
)
b
−
(
b
+
d
)
a
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}bc-ad&=bc+(ab-ab)-ad\\&=(a+c)b-(b+d)a\geq 0\end{aligned}}}
より、以下の不等式が得られる：
c
d
≥
a
+
c
b
+
d
≥
a
b
.
{\displaystyle {\frac {c}{d}}\geq {\frac {a+c}{b+d}}\geq {\frac {a}{b}}\,.}
一般の有理数 は整数 n と 0 でない整数 d の分数 n / d
正の整数 m , n n / m n / m n ÷ m 商 、あるいは単位分数 1 / m n 倍の数と捉えることができる。また、n : m 比 を持つ2つの数量のうち、m に相当する数量の大きさを 1 とした場合、他方の n に相当する数量の大きさは n / m n / m n , m
分数は自然数 だけではなく、整数全体や実数 、複素数 などを用いても定義される。
抽象代数学において分数は、環 に十分な逆元を追加することで新しい環を作り出す環の局所化 あるいは全商環 などの概念として一般に捉えることができる（分数環あるいは商の環というような言い方もある）。
可換環 R の部分集合 S は、R の単位元 1 を含み、S の任意の2つの元 s , t st が再び S の元となる（つまり乗法について閉じている）場合、S は R の積閉集合 という。可換環 R とその積閉集合 S に対し、R × S 二項関係 ∼
(
r
1
,
s
1
)
∼
(
r
2
,
s
2
)
⟺
∃
t
∈
S
,
t
(
r
1
s
2
−
r
2
s
1
)
=
0
{\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})\iff \exists t\in S,\,t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0}
で定めると、これは R × S 同値関係 を与える。R × S 割った ものを S − 1R (r , s ) の属する同値類 を r /s S − 1R R における演算と両立する和や積といった環としての演算が、すでに上で述べた規則に従って与えられる。
可換環 R に対して、R の零因子 でない元の全体は積閉集合である。積閉集合 S をそのようなものとする場合、環 S − 1R R の全商環 と呼ばれる。また、積閉集合 S が R の素イデアル P の補集合 として与えられている場合には、S − 1R RP と書いて R の P における局所化 と呼ぶ。なお、R が整域 ならば、このような同値関係は簡約できて
r
1
s
2
−
r
2
s
1
=
0
{\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0}
によって与えられ、これによって得られる全商環は可換体 の構造を持つ。これを分数体 あるいは商体 と呼ぶ。
全商環や商体といった構造はある種の普遍性 を与えており、たとえば整域の商体はもとの整域を含む最小の体を与えることなどが確かめられる。
積演算が非可換である場合、除法が左右で区別されるように分数も割る方向の左右で区別される。
いくつかの辞典では、分数を有理数 の同義語 として扱っている。例えば『精選版 日本国語大辞典』において分数は「整数ａを零でない整数ｂで割った商を、横線を用いてa/bと表わしたもの。ａを分子、ｂを分母と呼ぶ。有理数。」[5] [6]
fraction は小数 を指すことがある。例えば decimal fraction は整数の分子と 10 の冪 の分母を持つ分数と十進法 の小数のいずれも指し、fractional part は実数の小数部を表す。従って、厳密には分数と fraction は同義ではない。f と g を多項式関数 とし、分数 f / g 有理関数 と見た場合、g (x ) = 0f / g f (x ) = (x − 1)(x − 2)2 g (x ) = (x + 3)(x − 2)2 f / g x ) = x − 1/ x + 3x = 2g (2) = 0f / g
上垣渉、2015、「少年少女のための数学文化史(17) 帯分数の読み方における「と」と「か」について」、『数学教室』61巻8号、国土社 pp. 52-55
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {c}{d}}&{}-{\frac {a}{b}}&{}\geq 0&\,,\\[0.5em]bc&{}-ad&{}\geq 0&\,,\end{alignedat}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6e2fc619e54f30e5e1022fcda0b3a996944216)
