直交座標系の場合は、2つのベクトル ${\vec {u}}=(u_{x},u_{y}),{\vec {v}}=(v_{x},v_{y})$ の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：

{\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u_{x}v_{x}+(u_{x}v_{y}+u_{y}v_{x})\cos(\phi -\theta )+u_{y}v_{y}\\&={\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

(1)

あるいは次のようにも表現できる^[1]^{[注 1]}：

{\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u^{i}v_{i}=u^{1}v_{1}+u^{2}v_{2},\\(u^{1},u^{2})&:=(u_{x},u_{y}),\\(v_{1},v_{2})&:=(v_{x}+v_{y}\cos(\phi -\theta ),v_{x}\cos(\phi -\theta )+v_{y})\end{aligned}}

このとき、添字が上についている量（ $u 1$ など）を反変成分、下についている量（ $v 1$ など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}$ とすれば、反変成分を用いて

{\vec {u}}=u^{i}{\vec {e}}_{i}=u^{1}{\vec {e}}_{1}+u^{2}{\vec {e}}_{2}

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして

とすれば^{[注 2]}、共変成分を用いて

{\vec {v}}=v_{i}{\vec {e}}^{i}=v_{1}{\vec {e}}^{1}+v_{2}{\vec {e}}^{2}

と書くことができる。

上記の議論は ${\vec {u}},{\vec {v}}$ を入れ替えても同様に成り立つ。

式(1)の右辺に表れた行列

{\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}

は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。斜交座標系では計量テンソル $g$ は

{\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}(\phi -\theta )}}{\begin{pmatrix}1&-\cos(\phi -\theta )\\-\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}=(g_{ij})^{-1}\end{aligned}}

となる。また反変成分と共変成分の変換は

u_{i}=g_{ij}u^{j},\quad u^{i}=g^{ij}u_{j}

とシンプルに表すことができる．

2次元平面における斜交座標系

直交座標系との座標変換