近傍系

定義

要約

視点

位相空間 X とその任意の元 x に対して、x の（全）近傍系 ${\mathcal {V}}(x)$ とは、x の近傍全体の成すフィルターをいう。

点 x における基本近傍系 (fundamental system of neighbourhoods), 近傍基 (neighbourhood basis) あるいは局所基 (local basis) とは、近傍フィルターのフィルター基をいう。すなわち ${\mathcal {V}}(x)$ の部分集合 ${\mathcal {B}}(x)$ が基本近傍系であるというのは、各近傍 V に対して ${\mathcal {B}}(x)$ の元 B で V に含まれるものがとれること、記号で書けば

\forall V\in {\mathcal {V}}(x)\quad \exists B\in {\mathcal {B}}(x){\mbox{ with }}B\subset V

が成立することをいう。

逆に、任意のフィルター基に関すると同様、基本近傍系 ${\mathcal {B}}(x)$ から近傍フィルター ${\mathcal {V}}(x)$ を得ることができる。それには

{\mathcal {V}}(x)=\left\{V\subset X\mid \exists B\in {\mathcal {B}}(x)\ \mathrm {s.t.} \ B\subset V\right\}

とすればよい^[1]。

また近傍系は以下のように公理的に特徴づけられる^[2]。集合 X とその任意の元 x に対して X の部分集合のなす空でない族 ${\mathcal {V}}(x)$ が次の 4 つの条件を満たすとき、集合 X 上に ${\mathcal {V}}(x)$ を近傍系とする位相が唯ひとつ定まる。

$\forall U\subseteq X,\ V\in {\mathcal {V}}(x):\ V\subseteq U\implies U\in {\mathcal {V}}(x)$
$\forall U_{1},\dotsc ,U_{n}\in {\mathcal {V}}(x):\ \bigcap _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {V}}(x)$
$\forall U\in {\mathcal {V}}(x):\ x\in U$
$\forall U\in {\mathcal {V}}(x),\ \exists V\in {\mathcal {V}}(x):\ \forall y\in V,\ U\in {\mathcal {V}}(y)$

言葉で書くと次のようになる。

V が x の近傍ならば、V⊆U⊆X なる集合 U も x の近傍である。
x の近傍を有限個とると、その共通部分も x の近傍である。
x の近傍は x 自身を元にもつ。
U を x の近傍とする。 U 上の点 y で、 U が y の近傍でもあるようなものの全体を U の内部といい int(U) で表す。
$\mathrm {int} (U):=\{y\in U:\ U\in {\mathcal {V}}(y)\}$
このとき、 x の別の近傍 V で V⊆int(U) であるようなものが存在する。実はこのような V で最大のものが存在して int(U) に等しい。

例

ある点の全近傍系は明らかにそれ自身その点の近傍基である。
密着空間 X において、任意の点 x の近傍系は空間全体のみからなる： ${\mathcal {V}}(x)=\{X\}$ 。
距離空間の任意の点 x に対して、x を中心とする半径 1/n の開球体の列
${\mathcal {B}}(x)=\{B_{1/n}(x);n\in \mathbb {N} ^{*}\}$
は可算な基本近傍系をなす。ゆえに、任意の距離空間は第一可算である。
空間 E 上の測度全体の成す空間に弱位相を入れたとき、測度 ν における基本近傍系は
$\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):|\mu f_{i}-\nu f_{i}|<\varepsilon _{i},i=1,\ldots ,n\}$
で与えられる。ただし、f_i は E 上の実数値連続有界函数である。