十一角形 (じゅういちかくけい、じゅういちかっけい、hendecagon )は、多角形 の一つで、11本の辺 と11個の頂点 を持つ図形 である。内角 の和 は1620°、対角線 の本数は44本である。
正十一角形
正十一角形においては、中心角 と外角 は32.72 …° で、内角は147.27 …°となる(下線部は循環節)。一辺の長さが a の正十一角形の面積 S は
S
=
11
4
a
2
cot
π
11
≃
9.36564
a
2
{\displaystyle S={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}}
となる。
cos
(
2
π
/
11
)
{\displaystyle \cos(2\pi /11)}
の値は冪根 を用いて以下となる[1] 。
cos
2
π
11
=
−
1
10
+
−
1
+
5
+
i
10
+
2
5
40
{
−
11
4
{
89
+
25
5
+
(
45
5
−
2
5
−
5
5
+
2
5
)
i
}
5
+
−
11
4
{
89
−
25
5
+
(
5
5
−
2
5
+
45
5
+
2
5
)
i
}
5
}
+
−
1
+
5
−
i
10
+
2
5
40
{
−
11
4
{
89
+
25
5
−
(
45
5
−
2
5
−
5
5
+
2
5
)
i
}
5
+
−
11
4
{
89
−
25
5
−
(
5
5
−
2
5
+
45
5
+
2
5
)
i
}
5
}
=
0.841253
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{11}}=&-{\frac {1}{10}}\\&+{\frac {-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{40}}\left\lbrace {\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89+25{\sqrt {5}}+\left(45{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}+{\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89-25{\sqrt {5}}+\left(5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+45{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}\right\rbrace \\&+{\frac {-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{40}}\left\lbrace {\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89+25{\sqrt {5}}-\left(45{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}-5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}+{\sqrt[{5}]{-{\frac {11}{4}}\left\lbrace 89-25{\sqrt {5}}-\left(5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+45{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)i\right\rbrace }}\right\rbrace \\=&0.841253\dots \end{aligned}}}
正十一角形はコンパス と定規 だけではもちろん、目盛り付き定規を用いても作図 が不可能な図形である。折り紙 による作図も不可能である。
正十一角形はネウシス作図 [2] や折り紙 の多重折り[3] であれば作図可能となり、当然、面積が最大の正十一角形は折れる。
2023年現在流通しているカナダ 1ドル 硬貨 は正十一角形をデザインの中に含む(→w:Loonie )。
アメリカ合衆国 にも正十一角形をデザインの中に含む1ドル 硬貨があった(→w:Susan B. Anthony dollar )。
スーザン・B・アンソニー 1$硬貨
Benjamin, Elliot; Snyder, C. (2014). “On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Cambridge University Press) 156 (3): 409-424. doi :10.1017/S0305004113000753 .
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