余剰次元

余剰次元（よじょうじげん、英: extra dimensions）とは、4次元よりも高次（5次元以上）の時空を表す理論物理学の概念である。

物理学では、3次元の空間的な次元と 1次元の時間的な次元が、許容されている次元であるが、さらに次元を導入することで、4つの基本的な力を統一しようという理論がある。最も有名な理論として弦理論は、10次元の時空の次元を要求し、さらに基本的な 11-次元の理論は、それ以前の 5つの超弦理論をその中に含むM-理論と呼ばれる理論に基づいている。現在、これらの余剰次元の存在を検証するにたる実験結果や観測結果は得られていない。余剰次元の存在を仮定すると、何らかの物理的メカニズムにより背後に隠れている必要がある。良く研究されている可能性として、余剰次元は現在の実験では見ることのできないくらい小さなスケールに「巻き上げ」られているかも知れないというものである。サイズに関する極限や余剰次元のほかの性質は、Large Hadron Colliderのような素粒子実験により決められる^[1]。

場の量子論のレベルで、カルツァ＝クライン理論は、小さなコンパクトな余剰次元を伝播する重力は、大きな距離ではゲージ相互作用と等価であることが実現されるということを基礎として、ゲージ作用と重力を統一する。特に、余剰次元の幾何学が自明なとき、電磁気学を再現する。しかし、充分に高いエネルギーで短い距離では、この設定は量子重力を記述しようとすることの直接的な障害となっていることと同じ障害で完成していない。従って、これらのモデルは、いまだに弦理論の提供しようとしていることのひとつである紫外完備化（英語版）(UV completion)を求められている。このように、カルツァ・クライン理論はそれ自体が不完全な理論であるか、もしくは構築中の弦理論のモデルのある一部であるかのどちらかではないかと考えられている。

小さな、巻き上げられた余剰次元に加えて、現実の宇宙に存在する物質は (3 + 1)-次元の部分空間上へ局所化されているので、代わって現れない余剰次元が存在するかもしれない。このように、余剰次元は小さくコンパクトである必要はなく、大きな余剰次元（英語版）(large extra dimensions)であるかも知れない。D-ブレーンは、この役割を果たす弦理論により予言される様々な次元を持つ拡張された力学的対象である。D-ブレーンは、終点がブレーンに固定されたゲージ相互作用に付帯した開弦の励起と、一方、重力相互作用を媒介する閉弦は全時空（バルク）上を自由に伝播するという弦の性質を持つ。これにより、重力相互作用が高次元の体積の中へ伝播するほど、自分自身を充分に希釈することになるため、重力が他の相互作用よりも指数的に弱い理由を説明できる可能性がある。

ブレーン物理学のいくつかの側面は、ブレーン宇宙論(brane cosmology)へ応用されている。たとえば、ブレーンガス宇宙論^[2][3] は、トポロジー的で熱力学的な思考により、何故、空間次元は 3次元であるのかを説明しようとしている。このアイデアに従うと、弦が一般的に交差しうる空間的次元の最大数が 3 であるからである。もし、最初に大きなコンパクト次元の回りの弦の巻きつき数が大きいとすると、空間はマクロスコピックなサイズへ膨張するだけであり、反対に、これらの巻き数がなくなると仮定することは、弦は互いに相手を見つけて打ち消しあう。しかし、3次元では、弦はあいてを見つけ打ち消しあうに充分な率ではないので、空間の次元が 3であることが、宇宙の初期構成の一部により与えられた大きさとして許容されることとなる。

いくつかの理論物理学の理論では、空間の余剰次元を何らかの理由で導入している。

• カルツァ＝クライン理論では、重力と基本的な力（当初は電磁気力のみ）を説明するために、余剰次元を導入する。
• 大きな余剰次元（英語版）およびランドール・サンドラム模型は、重力が他の基本的な力に比べて非常に弱い理由を説明することを試みている（階層性問題）。これは、ブレーンワールドの特徴でもある。
• 超弦理論における余剰次元は、理論の数学的整合性を保つために必須であり、カラビ-ヤウ多様体の形状を持つと仮定される。

脚注

1. CMS Collaoration, "Search for Microscopic Black Hole Signatures at the Large Hadron Collider," https://arxiv.org/abs/1012.3375
2. Brandenberger, R., Vafa, C. – Superstrings in the early universe
3. Scott Watson – Brane Gas Cosmology (pdf)