中心化群と正規化群

数学、とくに群論において、群 G の部分集合 S の中心化群 (英: centralizer) とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S の正規化群 (normalizer) とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G の部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。

定義

群 G の部分集合 S の中心化群 (centralizer) は次で定義される^[1]。

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs{\text{ for all }}s\in S\}}$

文脈から群 G が明らかなときには、表記 C_G(S) から G を省くことがある。また S が単集合 {a} のときには中心化群 C_G({a}) は C_G(a) と略記される。この中心化群の別の表記として Z(a) もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群 G の中心 Z(G) と元 g ∈ G の中心化群 Z(g) とを混同しないよう注意しなければならない。

群 G における S の正規化群 (normalizer) は次で定義される。

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}}$

中心化群の定義と似ているが同じではない。g が S の中心化群の元で s が S の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい t ∈ S に対して gs = tg である。中心化群のときに述べた、G を省いたり単集合のときにブレース（中括弧）を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。S の正規化群を S の正規包（英語版） (normal closure) すなわち、S の生成する正規部分群 ⟨⟨S⟩⟩ と混同してはならない。

性質

下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1−3 による。

• S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
• 明らかに、C_G(S) ⊆ N_G(S) である。実は、C_G(S) は必ず N_G(S) の正規部分群である。
• C_G(C_G(S)) は S を含むが、C_G(S) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なのでもちろん H が G の可換な部分群であれば C_G(H) は H を含む。
• S が G の部分半群であれば、N_G(S) は S を含む。
• H が G の部分群であれば、H を正規部分群として含むような最大の G の部分群が N_G(H) である。
• 元 a ∈ G の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : C_G(a)] は等しい。
• 群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : N_G(H)] は等しい。
• G の部分群 H は、N_G(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
• G の中心はちょうど C_G(G) であり、G がアーベル群であることと C_G(G) = Z(G) = G は同値である。
• 単集合に対して、C_G(a) = N_G(a) である。
• 対称性により、S と T が G の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ C_G(S) と S ⊆ C_G(T) は同値である。
• 群 G の部分群 H に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群 N_G(H)/C_G(H) は H の自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。N_G(G) = G および C_G(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。
• 群準同型 T: G → Inn(G) を T(x)(g) = T_x(g) = xgx ⁻¹ によって定義すれば、N_G(S) と C_G(S) を Inn(G) の G への群作用の言葉によって記述できる： S の Inn(G) における安定化群は T(N_G(S)) であり、S を固定する Inn(G) の部分群は T(C_G(S)) である。

脚注

1. Jacobson (2009), p. 41

参考文献

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: A Graduate Course, Graduate Studies in Mathematics, 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR2472787, https://books.google.co.jp/books?id=5tKq0kbHuc4C&pg=PA41
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, I (second ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1, https://books.google.co.jp/books?id=JHFpv0tKiBAC

関連項目

• 交換子 (commutator)
• 安定化部分群 (stabilizer subgroup)
• 交換団 (commutant)