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数学において,ループ代数 (ループだいすう、英語: loop algebra) とは,ある種のリー環であり,特に理論物理学において興味を持たれる.
g を複素リー環とし,C∞(S1) を円周多様体 S1 上の滑らかな(複素)関数の代数とする.このとき,g と C∞(S1) のテンソル積
は,リーブラケットが
で与えられる無限次元リー環である.ここで g1 と g2 は g の元で,f1 と f2 は C∞(S1) の元である.
これは S1 の各点に g を乗せた g の無限個のコピーの直積に対応するものではない,なぜならば滑らかさの制約があるからである.そうではなく,S1 から g への滑らかな関数,言い換えると,g 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる.これがループ代数の名前の由来である.
なお,部分代数
もループ代数と呼ばれる[1].
同様に,S1 からリー群 G へのすべての滑らかな写像の集合は無限次元リー群をなし(その上の汎関数微分を定義できるという意味でリー群である),ループ群と呼ばれる.ループ群のリー環は対応するループ代数である.
このループ代数上のフーリエ変換を, を と定義することで取ることができる.ただし 0 ≤ σ < 2π は S1 の座標である.
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