リーマンのクシー関数

数学において、リーマンのクシー関数（リーマンのクシーかんすう、英: Riemann Xi function）はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。

リーマンのもともとの小文字のクシー関数、 $ξ$ はエトムント・ランダウによって大文字のクシー $Ξ$ に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー $ξ$ は次のように定義される^[1]： $s \in C$ に対して

\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {1}{2}}s\right)\zeta (s).

ここで $ζ (s)$ はリーマンのゼータ関数を表し、 $Γ (s)$ はガンマ関数である。クシーの関数等式（あるいは reflection formula（英語版））は

\xi (1-s)=\xi (s)

である。大文字のクシー $Ξ$ は Landau (loc. cit., §71) によって

\Xi (z)=\xi \left({\frac {1}{2}}+zi\right)

と定義され、関数等式

\Xi (-z)=\Xi (z)

をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 $Ξ$ はリーマンがもともと $ξ$ によって表記した関数である。

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偶数に対する一般式は

\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!

である、ただし $B n$ は $n$ 番目のベルヌーイ数を表す。例えば

\xi (2)={\pi  \over 6}

である。

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クシー関数は級数展開

{\frac {d}{dz}}\log \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}

をもつ、ただし

\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]

であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 $ρ$ を $| Im(ρ) |$ の順番で渡る。

この展開は Li's criterion（英語版）においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の $n$ に対して $λ n > 0$ であることと同値であるというものである。

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単純な無限積展開は

\Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!

ただし $ρ$ は $ξ$ の根を走る。

展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち $ρ$ と $1 - ρ$ の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。

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[1]
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.

Weisstein, Eric W. "Xi-Function". mathworld.wolfram.com (英語).
Keiper, J.B. (1992). “Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198): 765–773. Bibcode: 1992MaCom..58..765K. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.

定義