モールの応力円

モールの応力円（モールのおうりょくえん、Mohr's stress circle）とは、物体内の応力状態を図示するときに現れる円である。名称はクリスティアン・オットー・モール（英語版）にちなむ。

平面応力状態

平面応力状態において座標を (x, y) とし、物体内にはたらく垂直応力がσ_x、σ_y、せん断応力がτであるとき、この座標系に対して角度φだけ傾いた断面にはたらく応力σ'、τ' は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma '&={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\phi +\tau \sin 2\phi ,\\\tau '&={\frac {1}{2}}(\sigma _{y}-\sigma _{x})\sin 2\phi +\tau \cos 2\phi \end{aligned}}}$

で表される。これらの式を組み合わせると、次の式が得られる^[1]：

${\displaystyle \left(\sigma '-{\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau '^{2}={\frac {(\sigma _{x}-\sigma _{y})^{2}}{4}}+\tau ^{2}}$

これはσ'-τ' 平面上で円の方程式になっており、これをモールの応力円という。

モールの応力円を用いれば、主応力σ₁、σ₂ は円とσ' 軸との交点でのσ' の値となり、主応力面の角度は円上の点 (σ_x, τ) と円の中心を結ぶ線分がσ' 軸となす角の半分で表され、図の上で求めることができる。

3軸応力状態

より一般的な3軸応力状態の場合、その主応力をσ₁、σ₂、σ₃ とすると、応力円は

• 2点 (σ₁ , 0), (σ₂ , 0) を結ぶ線分を直径とする円
• 2点 (σ₂ , 0), (σ₃ , 0) を結ぶ線分を直径とする円
• 2点 (σ₁ , 0), (σ₃ , 0) を結ぶ線分を直径とする円

の3つが描かれ、任意の断面の応力はこれらの円で囲まれた領域内の点で表される。

例

純粋せん断

平面応力状態で、せん断応力τのみを受ける場合のモールの応力円は、原点を中心とし、半径がτの円となる。したがって主応力はx軸と±π/4の角度をなす面で生じ、σ₁, σ₂ = ±τとなる。

類似する概念

モールの応力円と同様の図示法がある。

• モールのひずみ円^[1]
• モールの慣性円^[2] - 断面2次モーメントを図示したもの