ヒルベルト多項式

可換環論における次数環あるいは次数加群のヒルベルト多項式（ヒルベルトたこうしき、英: Hilbert polynomial）は、その（次数環あるいは次数加群の）斉次成分の次元の増加率を測る一変数多項式である。次数付き可換環 S のヒルベルト多項式の次数および最高次係数は、射影代数多様体 Proj S の次数および次元に関係がある。

定義

体 K 上の有限次元空間 S₁ から生成される次数付き多元環

${\displaystyle S=\bigoplus S_{n}\ }$

のヒルベルト多項式とは、すべての（しかし有限個の）正の整数 n に対して

H_S(n) = dim_k S_n

を満たす、ただひとつの有理係数多項式 H_S(t) のことである。つまり、すべての（しかし有限個の）自然数 n に対する値が（ふつうはそういう風には言わないが、多項式補間という形で）多項式によって与えられるような場合の「ヒルベルト函数」という意味で、これを「ヒルベルト多項式」と呼ぶ。

次元の値は整数であるから、ヒルベルト多項式は整数値多項式 (numerical polynomial) である。しかし、ヒルベルト多項式が整係数多項式となるのは極めて稀である (Schenck 2003, pp. 41)。

同様に有限生成次数加群 M のヒルベルト多項式 H_M も（少なくとも M が正の次数付けを持つならば）定義することができる。

Pⁿ 内の射影多様体 V のヒルベルト多項式は、V の斉次座標環のヒルベルト多項式として定義される。

例

• 各 x_i を斉一次の変数とする k+1 変数多項式環 S = K[x₀, x₁, …, x_k] のヒルベルト多項式 H_S(t) は二項係数
  ${\displaystyle H_{S}(t)={{t+k} \choose {k}}={\frac {(t+1)\ldots (t+k)}{k!}}}$
  である。
• M が有限次元次数加群ならば、その十分大きな次数の斉次成分はすべて 0 であり、ゆえに M のヒルベルト多項式は恒等的に 0 である。

一般化

環 S が次数 1 の成分で生成されない場合にも、S 上の有限生成加群 M のヒルベルト函数はまだ定義可能だが、もはや多項式であるとは限らない。M のヒルベルト–ポアンカレ級数は M の次数付き成分の次元の母函数として定義される。M がよい性質を持つならば、ヒルベルト-ポアンカレ級数は有理函数となる (Eisenbud 1995, Chapter 10)。

参考文献

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR1322960.
• Schenck, Hal (2003), Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53650-9, MR011360
• Stanley, Richard (1978), “Hilbert functions of graded algebras”, Advances in Math. 28 (1): pp. 57–83, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2, MR0485835.