ディリクレエネルギー

数学におけるディリクレエネルギー（英: Dirichlet's energy）は、函数がどのように変化するかを測るための概念である。より抽象的に、そのようなエネルギーはソボレフ空間 H¹ 上の二次汎函数である。ディリクレエネルギーはラプラス方程式と密接に関連するもので、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレの名にちなむ。

定義

開集合 Ω ⊆ Rⁿ と函数 u : Ω → R が与えられたとき、その函数 u のディリクレエネルギーは次の実数で定義される：

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,\mathrm {d} V.}$

ここで ∇u : Ω → Rⁿ は函数 u の勾配ベクトル場を表す。

性質と応用

ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 u に対して E[u] ≥ 0 が成り立つ。

（適切な境界条件に対する）ラプラス方程式

${\displaystyle -\Delta u(x)=0{\text{ for all }}x\in \Omega }$

を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 u を探す変分問題を解くことと同値である。

そのような解は調和函数と呼ばれ、ポテンシャル論における研究テーマの一つである。

関連項目

• ディリクレの原理
• 全変動（英語版）
• 有界平均振動（英語版）
• 調和写像（英語版）

参考文献

• Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729