ケプラー方程式(ケプラーほうていしき)とは、ケプラー問題[注 1]において離心近点離角 E と平均近点離角 M の関係を記述する次の超越方程式(英語版)のことである[1]。
![{\displaystyle M=E-e\sin E.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5279cfd88937bf2d751a3d1fdb25c591082f42ab)
この方程式を所与の離心率
のもとで解き離心近点離角 E を平均近点離角 M の関数として求めることで惑星の軌道上の位置を決定することができる。
厳密解を求める方法として2つが知られている。1つは、ラグランジュの定理を用いる方法、もう1つはベッセル関数を用いる方法である。
ラグランジュの定理による方法
以下の命題が、陰関数のラグランジュの定理(英語版)である[4][6]。
ラグランジュの定理 ― 1点
a を囲む単一閉曲線
C および
C で囲まれた領域を
D とし、領域
D で正則な関数
g(
z) を考える。また、
z の関数
![{\displaystyle |z-a|/g(z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a95335e7519b90e6e8d0fcf720660fb619653c)
の
C 上の最小値を
![{\displaystyle \rho }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
とする。
![{\displaystyle |z|<\rho }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dca15da0ca82ad527ce13fee0a8917bccb4553)
であれば、
![{\displaystyle z=a+\zeta g(z)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e26ada37155708e3e823b8188dbf317821ab085)
を満足する
z が
D 内でただ1つ定まり、それを
![{\displaystyle z(\zeta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84efca2092e02023651b2cc74bde68b1ac20b57f)
と書くと、
![{\displaystyle z(\zeta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84efca2092e02023651b2cc74bde68b1ac20b57f)
は
![{\displaystyle |\zeta |<\rho }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf74886d76e071024bfab5682ddf498c5356637a)
で
![{\displaystyle \zeta }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae)
の正則関数である。このとき、
D 内で正則な関数
f(
z) に対して、
![{\displaystyle f(z)=f(a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial a^{n-1}}}(g^{n}(a)f'(a)),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd1602219cf045e4b7ec24088f04c60d79f9250)
が成立する。
ラグランジュの定理は、逆関数や陰関数を冪級数で求める際に使われる[6]。
この定理をケプラーの方程式に適用すると、
![{\displaystyle E=e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+\cdots ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0adba2eb4abf45dcdce4b0975081fe606623cc)
が得られる[4]。
が小さいときに適用可能である。
ベッセル関数による展開の方法
もう1つの方法は、ベッセル関数による展開の方法である。この方法は
が大きい場合でも適用可能である。
ケプラーの方程式は、以下の並進で不変であるという特徴を持っている
[7]。
![{\displaystyle (M,E)\rightarrow (M+2\pi ,E+2\pi ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68b67ace5277177dd28a0fa0ab729976960bd9b)
また、
であるから、これを逐次代入すると
![{\displaystyle {\begin{aligned}e\sin E&=e\sin(M+e\sin E)\\&=e\sin(M+e\sin(M+e\sin E))\\&=\cdots ,\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f69e274aa7e07c586db61da82ff8a513996344)
により、
は
の周期関数で、かつ
の奇関数であることがわかる
[8]。
したがって、
を
によって以下のようにフーリエ展開できる[8]。
![{\displaystyle e\sin E=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin nM.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5133eff573d9108f51224f6ee203aeadb8d71f1)
フーリエ係数
はフーリエ展開の一般論により、
![{\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dMe\sin E\sin nM,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfc12fd4406ba67d9b4f6913320e469390d78fe)
で与えられる[8]。上式の右辺は
![{\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}\int dMe\sin E{\frac {d}{dM}}\cos nM,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183b039446a9bf529493e384f9b6a77e5a72849d)
と変形できるから、部分積分して
![{\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}{\Big [}e\sin E\cos nM{\Big ]}_{M=0}^{M=\pi }+{\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dM{\frac {ed\sin E}{dM}}\cdot \cos nM}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd0c234cdf436ad367f5efe45cd4ad45e9d7fd6)
である[8]。第1項の表面項は消えることと、第2項に元のケプラーの方程式を代入して、
![{\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\left(\int _{0}^{\pi }dE\cos nM-\int _{0}^{\pi }dM\cos nM\right),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7decd707184c9260a2c16432ec6ec3aee6280020)
を得る[8]。上式の第2項はコサイン関数の周期性により消える。
第1項に元のケプラーの方程式を代入すると
![{\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dE\cos n(E-e\sin E),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23715ce0ca715439cb36a88aca50b4f547b151e)
を得る[8]。ここで、 n 次のベッセル関数の積分表示の1つ[9]
![{\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }d\theta \cos(z\sin \theta -n\theta ),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb04270c064b5c1724137aa1b3e4e64fcb880cca)
を用いると、
に等しいことがわかるので、結局、
![{\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267d6c096f0a5ed7ef372889d49decc9fba3e35f)
が厳密解であることがわかる[8][10]。
別ルートによって同じ結果にたどり着くことも可能である。ケプラーの方程式を微分して[4]、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE}{dM}}&={\frac {1}{1-e\cos E}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nM,\\a_{n}&:={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dM{\frac {\cos nM}{1-e\cos E}}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dE\cos n(E-e\sin E)=2J_{n}(ne).\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b659dac9d8bcac104c80d9e5926716a23ff9f8b)
ただし、最初の式の2番目の等号では、 E も M も周期関数(周期
)であることを用いて
フーリエ展開した[4]。よって、積分すると、
![{\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267d6c096f0a5ed7ef372889d49decc9fba3e35f)
となって、同じ結果が得られた[4]。
G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions(reprint), Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-48391-3, p.552. G.N.Watson, A Treatise, p.553.
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