クローニッヒ・ペニーのモデル (英 : Kronig–Penney model )は結晶 内での電子 の挙動を近似 的に記述する量子力学 的なモデルの1つである。周期的な井戸型ポテンシャル 型の一次元のモデルであり、狭義には周期的にデルタ関数 型のポテンシャルを持つモデルを指すこともある。1931年にラルフ・クローニッヒ とウィリアム・ペニーによって提出された。バンド理論 の基本的な枠組みをこのモデルで説明することができる。
クローニッヒ・ペニーのモデルのポテンシャル V は n を任意の整数 として以下のように表される。
V
(
x
)
=
{
0
(
n
a
≤
x
<
(
n
+
1
)
a
−
b
)
V
0
(
(
n
+
1
)
a
−
b
≤
x
<
(
n
+
1
)
a
)
{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&(na\leq x<(n+1)a-b)\\V_{0}&((n+1)a-b\leq x<(n+1)a)\end{cases}}}
このポテンシャルは周期 a
特に重要なのは b →0V 0 →∞くし型関数 (comb関数)で表される。
V
(
x
)
=
∑
n
δ
(
x
−
n
a
)
{\displaystyle V(x)=\sum _{n}\delta (x-na)}
これは間隔 a で一次元に配列している原子によるポテンシャルを荒く近似したものと考えることができる。
ブロッホの定理を用いると、1周期での解だけを見つければ良いことになる。
ポテンシャルの1周期の中には2つの領域があり、それぞれを独立に解く。
本来シュレーディンガー方程式はエネルギーについての固有値方程式 であるが、ここでは一先ずエネルギー固有値Eは求めるものではないと見なす。
するとシュレーディンガー方程式は微分方程式となる。
そして微分方程式の解を固有値問題に代入してEを求め、解としての妥当性を検証する。
まずE が井戸の高さより高い(E>0)として、2つの領域の解を求める。
0
<
x
<
a
−
b
{\displaystyle 0<x<a-b}
−
ℏ
2
2
m
ψ
x
x
=
E
ψ
{\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi }
この微分方程式の解は、あるα
ψ
=
A
e
i
α
x
+
A
′
e
−
i
α
x
=
e
i
k
x
(
A
e
i
(
α
−
k
)
x
+
A
′
e
−
i
(
α
+
k
)
x
)
{\displaystyle \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)}
ブロッホの定理より、
u
(
x
)
=
A
e
i
(
α
−
k
)
x
+
A
′
e
−
i
(
α
+
k
)
x
{\displaystyle u(x)=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\,\!}
固有値方程式に代入することで、エネルギーはα
α
2
≡
2
m
E
ℏ
2
{\displaystyle \alpha ^{2}\equiv {2mE \over \hbar ^{2}}}
同様に、
−
b
<
x
<
0
{\displaystyle -b<x<0}
−
ℏ
2
2
m
ψ
x
x
=
(
E
+
V
0
)
ψ
{\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi }
この微分方程式の解は、あるβ
ψ
=
B
e
i
β
x
+
B
′
e
−
i
β
x
(
β
2
≡
2
m
(
E
+
V
0
)
ℏ
2
)
.
{\displaystyle \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}\equiv {2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).}
ブロッホの定理より、
u
(
x
)
=
B
e
i
(
β
−
k
)
x
+
B
′
e
−
i
(
β
+
k
)
x
{\displaystyle u(x)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}}
以下、α β E k
クローニッヒ・ペニーのモデルのシュレーディンガー方程式 の解の存在条件は、以下の2つの条件から導出される永年方程式 を解くことで導出される。
波動関数 ψ とその一次微分が x = 0x = a
ψ
(
0
−
)
=
ψ
(
0
+
)
ψ
′
(
0
−
)
=
ψ
′
(
0
+
)
{\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+})}
周期的ポテンシャルに対する波動関数がブロッホの定理 を満たさなければならない。
u
(
−
b
)
=
u
(
a
−
b
)
u
′
(
−
b
)
=
u
′
(
a
−
b
)
{\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b)}
これらの条件により、次の行列が得られる。
(
1
1
−
1
−
1
α
−
α
−
β
β
e
i
(
α
−
k
)
(
a
−
b
)
e
−
i
(
α
+
k
)
(
a
−
b
)
−
e
−
i
(
β
−
k
)
b
−
e
i
(
β
+
k
)
b
(
α
−
k
)
e
i
(
α
−
k
)
(
a
−
b
)
−
(
α
+
k
)
e
−
i
(
α
+
k
)
(
a
−
b
)
−
(
β
−
k
)
e
−
i
(
β
−
k
)
b
(
β
+
k
)
e
i
(
β
+
k
)
b
)
(
A
A
′
B
B
′
)
=
(
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}
自明でない解を得るためには、この行列の行列式は0でなければならない。よってα β E k
cos
(
k
a
)
=
cos
(
β
b
)
cos
[
α
(
a
−
b
)
]
−
α
2
+
β
2
2
α
β
sin
(
β
b
)
sin
[
α
(
a
−
b
)
]
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)]}
ここで簡単のため次の近似を行い、ポテンシャルをデルタ関数型にして考える。
b
→
0
,
V
0
→
∞
,
V
0
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle b\to 0,\quad V_{0}\to \infty ,\quad V_{0}b=\mathrm {constant} }
⇒
β
2
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
,
α
2
b
→
0
{\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ,\quad \alpha ^{2}b\to 0}
⇒
β
b
→
0
,
;
sin
(
β
b
)
→
β
b
,
cos
(
β
b
)
→
1
{\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0,;\quad \sin(\beta b)\to \beta b,\quad \cos(\beta b)\to 1}
すると、α E k
cos
(
k
a
)
=
cos
(
α
a
)
−
P
sin
(
α
a
)
α
a
(
P
≡
m
V
0
b
a
ℏ
2
)
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}}\qquad \left(P\equiv {\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}
次にE が井戸の高さより低い場合(E >0)を考える。この場合、α β k
cos
(
k
a
)
=
cos
(
β
b
)
cosh
[
α
(
a
−
b
)
]
+
β
2
−
α
2
2
α
β
sin
(
β
b
)
sinh
[
α
(
a
−
b
)
]
(
α
2
≡
2
m
|
E
|
ℏ
2
,
β
2
≡
2
m
(
V
0
−
|
E
|
)
ℏ
2
)
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]+{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)]\quad \left(\alpha ^{2}\equiv {2m|E| \over \hbar ^{2}},\quad \beta ^{2}\equiv {2m(V_{0}-|E|) \over \hbar ^{2}}\right)}
先ほどと同じ近似(
b
→
0
,
V
0
→
∞
,
V
0
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle b\to 0,\quad V_{0}\to \infty ,\quad V_{0}b=\mathrm {constant} }
α k
cos
(
k
a
)
=
cos
(
α
a
)
+
P
sin
(
α
a
)
α
a
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}}}
P = 1.5をもつ、分散関係におけるcos(k a)に等しい式の値。黒線は k が計算できる
α
a
{\displaystyle \alpha a}
P = 1.5をもつクローニッヒペニー模型の分散関係。 これまでの議論により、エネルギー固有値E ψ k x ) = u (x )exp(ikx )波数 （結晶波数 ）k E α β cos(ka) を計算することができる。そして両辺の
arccos
{\displaystyle \arccos }
k E k 分散関係 ）が得られる。
ただし電子が束縛されている場合(E < 0cos(ka) が1以上または-1以下になるE k k = nπ /a E が現れる。
このことは、ポテンシャルが周期的になったことである特別な波数（結晶波数）k E
すなわち、以下の2つの区間が存在することになる。
E について解が存在する = その E の値をとることが許容された区間。これをエネルギーバンド と呼ぶ。E について解が存在しない = その E の値をとることが禁止された区間。これをバンドギャップ と呼ぶ。また k に対して E が連続な一つの区間はブリュアン領域 に当たる。
クローニッヒ・ペニーモデルは、バンドギャップを示す最も単純な周期的ポテンシャルの1つである。
b →0U 0 →∞k = nπ /a n は整数)以外の点では連続であり、k の絶対値の増加につれて E も増加する関数となる。
ポテンシャルの無い自由電子モデルにおいては波動関数は ψk (x ) = u (x )exp(ikx )a のポテンシャルを持つモデルにおいては、これに対応する波動関数はブロッホの定理より
ψ
k
(
x
)
=
∑
m
c
m
e
i
(
k
−
2
π
m
a
)
x
{\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{m}c_{m}e^{i(k-{\frac {2\pi m}{a}})x}}
の形を持つ。各項の係数 cm の絶対値(その2乗が波動関数への寄与と考えられる)は m = 0
クローニッヒ・ペニーのデルタ関数型のポテンシャルでは係数 cm は大雑把には (k − 2πm /a )2 − k 2 の絶対値が小さいほど大きくなる。もっとも大きい係数 c 0 cm の2項を用いて波動関数を
ψ
k
(
x
)
=
c
0
e
i
k
x
+
c
m
e
i
(
k
−
2
π
m
a
)
x
{\displaystyle \psi _{k}(x)=c_{0}e^{ikx}+c_{m}e^{i(k-{\frac {2\pi m}{a}})x}}
と近似できる。
k >0, U 0 > 00 < k < π /a においては、c 0 c m m =1)cm の絶対値は 0 から k が増加するにつれて増加し、π /a c 0 π /a < k < (5/3)π /a c 0 c m m =1)c m m =1)2(n +1)π /a において c 0 k が増加するにつれて減少する。k = (5/3)π /a (k − 2πm /a )2 − k 2 の絶対値が m =1m =2k が大きくなると m =2(5/3)π /a < k < 2π /a においては c 0 c m m =2)c m m =2)k が増加するにつれて増加し、2π /a で c 0
2π /a < k < (13/5)π /a においては c 0 c m m =2)c m m =2)2(n +1)π /a において c 0 k が増加するにつれて減少する。k = (13/5)π /a (k − 2πm /a )2 − k 2 の絶対値が m =2m =3k が大きくなると m =3(13/5)π /a < k < 3π /a においては c 0 c m m =3)c m m =2)k が増加するにつれて増加し、3π /a で c 0 3π /a < k < (25/7)π /a においては c 0 c m m =3)c m m =1)2(n +1)π /a において c 0 k が増加するにつれて減少する。
以上のように波動関数は変化していくが、k = nπ /a k を小さい側から k → nπ /a
ψ
k
(
x
)
=
c
0
e
i
k
x
−
c
0
e
−
i
k
x
{\displaystyle \psi _{k}(x)=c_{0}e^{ikx}-c_{0}e^{-ikx}}
と k を大きい側から k → nπ /a
ψ
k
(
x
)
=
c
0
e
i
k
x
+
c
0
e
−
i
k
x
{\displaystyle \psi _{k}(x)=c_{0}e^{ikx}+c_{0}e^{-ikx}}
がある。差の形式の解においては波動関数はポテンシャルが値を持つ x = na 0 となりポテンシャルの影響を受けず、自由電子モデルの場合と同じエネルギー固有値を持つ。一方、和の形式の解においては、x = na k = nπ /a
ここでデルタ型の周期ポテンシャルを考える。
V
(
x
)
=
A
⋅
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
x
−
n
⋅
a
)
.
{\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n\cdot a).}
A はある定数で、a は格子定数（各サイト間の間隔）。
このポテンシャルは周期的であるため、これをフーリエ級数として展開できる。
V
(
x
)
=
∑
K
V
~
(
K
)
⋅
e
i
⋅
K
⋅
x
,
{\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{i\cdot K\cdot x},}
ここで
V
~
(
K
)
=
1
a
∫
−
a
/
2
a
/
2
d
x
V
(
x
)
e
−
i
K
x
=
1
a
∫
−
a
/
2
a
/
2
d
x
∑
n
=
−
∞
∞
A
δ
(
x
−
n
a
)
e
−
i
K
x
=
A
a
{\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}}
ブロッホの定理によると波動関数は
ψ
k
(
x
)
=
e
i
k
x
u
k
(
x
)
{\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
u
k
(
x
)
=
∑
K
u
~
k
(
K
)
e
i
K
x
.
{\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}
よって波動関数は、
ψ
k
(
x
)
=
∑
K
u
~
k
(
K
)
e
i
(
k
+
K
)
x
.
{\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}
これをシュレーディンガー方程式に代入すると、
[
ℏ
2
(
k
+
K
)
2
2
m
−
E
k
]
⋅
u
~
k
(
K
)
+
∑
K
′
V
~
(
K
−
K
′
)
u
~
k
(
K
′
)
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}
または、
[
ℏ
2
(
k
+
K
)
2
2
m
−
E
k
]
⋅
u
~
k
(
K
)
+
A
a
∑
K
′
u
~
k
(
K
′
)
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}
ここで新しい関数を定義する。
f
(
k
)
:=
∑
K
′
u
~
k
(
K
′
)
{\displaystyle f(k):=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}
これをシュレーディンガー方程式に代入すると、
[
ℏ
2
(
k
+
K
)
2
2
m
−
E
k
]
⋅
u
~
k
(
K
)
+
A
a
f
(
k
)
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}f(k)=0}
これを
u
~
k
(
K
)
{\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}
u
~
k
(
K
)
=
2
m
ℏ
2
A
a
f
(
k
)
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
=
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
f
(
k
)
{\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)}
全てのK についてこの式を足し合わせると、
∑
K
u
~
k
(
K
)
=
∑
K
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
f
(
k
)
{\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)}
または、
f
(
k
)
=
∑
K
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
f
(
k
)
{\displaystyle f(k)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)}
都合がよいことに、
f
(
k
)
{\displaystyle f(k)}
1
=
∑
K
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
{\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}
または、
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
K
1
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}
ここで式を簡単にするため、新しい変数を定義する。
α
2
:=
2
m
E
k
ℏ
2
{\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}
これを用いると、
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
K
1
α
2
−
(
k
+
K
)
2
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}
ここでK は逆格子ベクトルである。つまりK についての和は、
2
π
a
{\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
n
=
−
∞
∞
1
α
2
−
(
k
+
2
π
n
a
)
2
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}
ここで部分分数分解 を用いて式を変形すると、
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
n
=
−
∞
∞
1
α
2
−
(
k
+
2
π
n
a
)
2
=
−
1
2
α
∑
n
=
−
∞
∞
[
1
(
k
+
2
π
n
a
)
−
α
−
1
(
k
+
2
π
n
a
)
+
α
]
=
−
a
4
α
∑
n
=
−
∞
∞
[
1
π
n
+
k
a
2
−
α
a
2
−
1
π
n
+
k
a
2
+
α
a
2
]
=
−
a
4
α
[
∑
n
=
−
∞
∞
1
π
n
+
k
a
2
−
α
a
2
−
∑
n
=
−
∞
∞
1
π
n
+
k
a
2
+
α
a
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}
cot関数の和の良い恒等式 (Equation 18 )
cot
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
1
n
π
+
x
{\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{n\pi +x}}}
を代入すると、
ℏ
2
2
m
a
A
=
−
a
4
α
[
cot
(
k
a
2
−
α
a
2
)
−
cot
(
k
a
2
+
α
a
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}
cot の和を用い、sin の積（cot の和の公式の一部）
cos
(
k
a
)
=
cos
(
α
a
)
+
m
A
ℏ
2
α
sin
(
α
a
)
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}
この式は、α を通じたエネルギーと波数ベクトルk の関係を示す。見てわかるように、この式の右辺は-1 から1 の範囲のみであるため、これらの式の解が存在しないα がある。つまり系がとることができないある範囲のエネルギーがある（エネルギーギャップ）。これがいわゆるエネルギーギャップで、デルタ型または長方形型の障壁だけでなく全ての形の周期ポテンシャルで存在する。
バンド間のギャップについての別の詳細な計算について、また1次元シュレーディンガー方程式の固有値の準位分裂については文献[2]
F. Bloch, Z. Physik 52 (1928) 555
Harald J. W. Muller-Kirsten, Introduction to Quantum Mechanics: Schrodinger Equation and Path Integral, 2nd ed., World Scientific (Singapore, 2012), 325?329, 458?477.
![{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8f95f8c0bec04bea13a620f0cdcd09a3cac9ed)
![{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]+{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)]\quad \left(\alpha ^{2}\equiv {2m|E| \over \hbar ^{2}},\quad \beta ^{2}\equiv {2m(V_{0}-|E|) \over \hbar ^{2}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d167c44fa4c8421e94ae460ef179c9c326999f)
![{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3924b1e962f50d41e22de85224a2aaa8fc29c363)
![{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436d3587566cce8fd61768759ca58b49b1726a1b)
![{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}f(k)=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fa0ce0ae4b87f30a41f3d69db71339a8393e5d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ba6686b2b4340398c82c27c2b16cd7906a8b10)
![{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f10a349eb587ba574a1a75c0d3b22d3bd803ab2)
