分位数

分位数（ぶんいすう）、分位点（ぶんいてん）、分位値（ぶんいち）、クォンタイル (英: quantile) は、統計の代表値の1種である。

実数 ${\displaystyle q\in [0,1]}$ に対し、q 分位数 (q-quantile) は、分布を ${\displaystyle q:1-q}$ に分割する値である。

ある種の正の整数 ${\displaystyle m}$ に対し、分布を ${\displaystyle m}$ 等分する ${\displaystyle m-1}$ 個の値、つまり、${\displaystyle i=1,\dotsc ,m-1}$ に対する ${\displaystyle i/m}$ 分位数を、m 分位数（ただし ${\displaystyle m}$ は漢数字）という。${\displaystyle i=1,\dotsc ,m-1}$ 番目の m 分位数を第 i m 分位数といい、また、${\displaystyle m}$ 等分された分布の ${\displaystyle k=1,\dotsc ,m}$ 番目の部分を、第 k m 分位、または単に第 k 分位という。

ただし、英語のquantileには、等分割する値（value）の意味と、そのようにして分割された群（group）の二つの意味がある^[1]。

定義

変量統計における分位数

${\displaystyle n}$ 個のデータ ${\displaystyle x}$ に対する q 分位数 ${\displaystyle Q_{q}}$ は、昇順にソートしたデータを ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}}$ とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{q}&=x(1-q+qn)\\x(t)&={\begin{cases}x_{t},&{\text{if }}t\in \mathbb {N} \\(\lceil t\rceil -t)x_{\lfloor t\rfloor }+(t-\lfloor t\rfloor )x_{\lceil t\rceil },&{\text{if }}t\notin \mathbb {N} \end{cases}}\end{aligned}}}$

と定義される。ここで、${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ は床関数、${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ は天井関数、${\displaystyle \mathbb {N} }$ は自然数の集合である。

関数 ${\displaystyle x(t),\ 1\leq t\leq n}$ は、数列 ${\displaystyle x_{1,\dotsc ,n}}$ の線形内挿数関数への拡張である。関数 ${\displaystyle x(\cdot )}$ の引数 ${\displaystyle 1-q+qn}$ は、範囲 ${\displaystyle [1,n]}$ を ${\displaystyle q:1-q}$ に内分している。

確率分布の分位数

1次元確率分布 ${\displaystyle f(x)}$ に対する q 分位数 ${\displaystyle Q_{q}}$ は

${\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}f(x)dx\geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }f(x)dx\geq 1-q}$

を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 ${\displaystyle F(x)}$ または確率 ${\displaystyle P(X)}$ を使って、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}dF(x)\ \geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }dF(x)\ \geq 1-q}$

または

${\displaystyle P(X\leq Q_{q})\geq q,\ P(X\geq Q_{q})\geq 1-q}$

とも表せる^[2]。

特別な分位数

いくつかの q に対する q 分位数には、特別な名称がある。

中央値

→詳細は「中央値」を参照

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

四分位数

${\displaystyle q/4}$ 分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう^[3]。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の統計的ばらつきを表すのに使う。

第1・第3四分位数の差 ${\displaystyle Q_{3/4}-Q_{1/4}}$ は、四分位範囲（英: interquartile range, IQR）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

${\displaystyle {\text{IQR}}/2}$ を四分位偏差、${\displaystyle {\text{IQR}}/{\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 0.7413~{\text{IQR}}}$ を正規四分位範囲（英: normalized interquartile range, NIQR）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、${\displaystyle {\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 1.3490}$ は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる ^[要出典]。

三分位数・五分位数・十分位数

${\displaystyle q/3}$ 分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 (tertile) という。

${\displaystyle q/5}$ 分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 (quintile) という。

${\displaystyle q/10}$ 分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 (decile) という。

パーセンタイル

${\displaystyle q/100}$ 分位数を、q パーセンタイル、（第）q 百分位数、（第）q 百分位点、（第）q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。

${\displaystyle 1-q/100}$ 分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、${\displaystyle q/100}$ 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、${\displaystyle 1/2+q/200}$ 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q %が含まれている。

最大値・最小値

0分位数は最小値、1分位数は最大値である^[4]。最大値と最小値の差は範囲あるいはレンジ（英: range）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。

五数要約

→詳細は「箱ひげ図」を参照

分布の特徴を最大値、最小値、中央値、上側・下側ヒンジの5つの値、つまり、0, 0.25, 0.5, 0.75, 1分位数で要約することを、五数要約という。五数要約は、しばしば箱ひげ図で図示される。

日本産業規格

日本産業規格では、分位点を、「${\displaystyle p}$分位点とは，分布関数が ${\displaystyle p}$ に一致するか，又は${\displaystyle p}$より小さな値から ${\displaystyle p}$ より大きな値に飛ぶときの確率変数の値。確率${\displaystyle p}$ を ${\displaystyle 100p}$% で表すときは ${\displaystyle 100p}$ パーセント点 (100p percentile) という。備考1. 確率変数のある区間内で分布関数が一定値${\displaystyle p}$となる場合は，その区間内の任意の値が${\displaystyle p}$分位点とされる。ただし，${\displaystyle 0\leqq p\leqq 1}$である。 2. ${\displaystyle p=1/2}$に対応する確率変数の値をメディアン中央値 (median) という。3. ${\displaystyle p=1/4}$および${\displaystyle p=3/4}$に対応する確率変数の値を四分位点 (quartile) という。」と定義している^[5]。

脚注

[脚注の使い方]

1. Angus Stevenson, ed. (2010), Oxford Dictionary of English (Third ed.), Oxford University Press, p. 1451, ISBN 978-0-19-957112-3
2. 累積分布関数が（狭義）単調増加でなければ、この条件を満たす ${\displaystyle Q_{q}}$ は一意に定まるとは限らない。
3. 西岡 2013, p. 12, 1.5 分位数.
4. 西岡 2013, p. 8, 1.4 度数分布.
5. JIS Z 8101-1 : 1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 1.10 分位点、日本規格協会、http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html

参考文献

• 西岡康夫『やさしく語る 確率統計』オーム社〈数学チュートリアル〉、2013年。ISBN 978-4-274-21407-3。https://books.google.co.jp/books?id=AUY2AgAAQBAJ。

外部リンク

• Quartiles in Elementary Statistics 15種類の定義がされている