カプレカー数

カプレカー数（カプレカーすう、Kaprekar number）とは、次のいずれかで定義される自然数である^[1]。

1. 2乗して上位の半分と下位の半分とに分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる自然数。
2. 桁を並べ替えて最大にした数と最小にした数との差を取ったとき、元の値に等しくなる自然数（カプレカー定数）。

名称は、インドの数学者 D. R. カプレカル（英語表記: D. R. Kaprekar^[1][2]）にちなむ^[3][4]。カプレカ数^[5]、カプリカ数^[6]ともいい、原語であるマラーティー語の発音^[7]に近づけてカプレカル数^[8][9]ともいう。

定義1

正の整数を2乗し、上位と下位のゼロでない^[10]数桁ずつに分けて、それらの和を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。

例えば、297 はカプレカー数である。297² = 88209 であり、これを上位の2桁 88 と下位の3桁 209 とに分けて足すと 88 + 209 = 297 となる。 この定義でのカプレカー数を小さな順に並べると、こうなる^[11]。

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, …

• 正の整数の2乗を、上位と下位との桁数をほぼ等しく（桁数が等しいか、上位の桁数より下位の桁数が1だけ大きく）分けるという定義もある。つまり、2乗が偶数桁（2n 桁）である場合は上位の n 桁と下位の n 桁とに分け、奇数桁（2n+1 桁）である場合は上位の n 桁と下位の n+1 桁とに分けて、上位と下位との和を取る。4879 と 5292 は、この定義のカプレカー数には含まれない^[12]。

4879² = 23804641 であり、238 + 04641 = 4879 であるが、 2380 + 4641 = 7021

5292² = 28005264 であり、28 + 005264 = 5292 であるが、 2800 + 5264 = 8064

定義1のカプレカー数は無数ある。例えば、9, 99, 999, 9999, 99999, … のように"9"のぞろ目の数は全てこの定義のカプレカー数である。

定義2（カプレカー定数）

整数の各桁の数を並べ替え、最大のものと最小のものとの差を取る。この差が元の整数に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ（カプレカー定数とも呼ばれる。）。

6174 は、7641 − 1467 = 6174 であるから、この定義でのカプレカー数である。6174は、10進4桁では唯一のカプレカー定数である。また、3桁における唯一のカプレカー定数は、495 である。

カプレカー定数を小さな順に並べると、以下のとおりとなる^[13]。

0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, …

なお、容易に分かるように、カプレカー定数は全て9の倍数である。

たとえば、最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと、

5200 − 0025 = 5175

7551 − 1557 = 5994

9954 − 4599 = 5355

5553 − 3555 = 1998

9981 − 1899 = 8082

8820 − 0288 = 8532

8532 − 2358 = 6174

7641 − 1467 = 6174

となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる（1111 の倍数だけが 0 になり，その他は 6174 になる）。カプレカル自身は4桁の数だけを考察したが、任意の桁数の整数で同じことが考えられる。ある桁数の整数は有限個であるから、この操作を繰り返すと、最終的に必ずループになる。ループの周期が 1 である場合に、その整数をカプレカー数と呼ぶのである。

この定義のカプレカー数は無数にある。例えば、6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4（途中に出現する"3"と"6"との長さが等しいもの）は全てカプレカー数である。

脚注

1. Kaprekar 1980.
2. D. R. Kaprekar (1949-03). “217 Another Solitaire Game”. Scripta Mathematica 15 (1): 244-245.
3. マーティン・ガードナー 著、一松信 訳『メイトリックス博士の驚異の数秘術』紀伊國屋書店、1978年、155-156頁。
4. 西山豊「6174の不思議」（PDF）『理系への数学』、現代数学社、2006年1月、9-12頁、2021年3月19日閲覧。
5. サム・パーク編 著、蟹江幸博 訳『数学、それは宇宙の言葉 : 数学者が語る50のヴィジョン』岩波書店、2020年、1-6頁。
6. 秋山仁『NHK 算数大すき』日本放送出版協会、1992年。
7. マラーティー語でのつづり कापरेकर の発音は「カプリカル」であって、最後の「ル」は巻き舌音。
8. 片山 1988.
9. 亀井 2021.
10. 1000² = 1000000 であり、1000 + 000 = 1000 であるが、1000 はカプレカー数ではない。
11. オンライン整数列大辞典の数列 A006886
12. オンライン整数列大辞典の数列 A053816
13. A099009

参考文献

• D. R. Kaprekar (1980–1981). “On Kaprekar numbers”. Journal of Recreational Mathematics 13: 81–82.
• M. ラインズ 著、片山孝次 訳『数 : その意外な表情』岩波書店、1988年。
• 亀井哲治郎（著）、数学教育協議会（編）「6174は「カプレカル数」と呼ぼう！」『数学教室』こ・そ・あ・ど／んなこと、あけび書房、2021年4月、72-73頁。

外部リンク

• 『カプレカ数（特に3桁の場合）について』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Kaprekar Number". mathworld.wolfram.com (英語). - 第1の定義によるカプレカー数
• Weisstein, Eric W. "Kaprekar Routine". mathworld.wolfram.com (英語). - 第2の定義によるカプレカー数
• Yutaka Nishiyama (2006年3月1日). “Mysterious Number 6174”. Plus Magazine. University of Cambridge. 2021年3月29日閲覧。