カイ二乗分布

カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ²分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見され^[1]、ピアソンにより命名された^[2]。

カイ二乗分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$
台	[0, ∞)
確率密度関数	${\displaystyle {\frac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2}\Gamma (k/2)}}}$
累積分布関数	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$
期待値	k
中央値	${\displaystyle \simeq k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}}$
最頻値	0 for k < 2 k − 2 for k ≥ 2
分散	2k
歪度	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {k}}}}$
尖度	12/k
エントロピー	k/2 + ln 2 + ln Γ(k/2) + (1 − k/2)ψ(k/2)
モーメント母関数	${\displaystyle {\frac {1}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for }}t<1/2}$
特性関数	${\displaystyle {\frac {1}{(1-2it)^{k/2}}}}$

独立に標準正規分布に従う k 個の確率変数 X₁, …, X_k をとる。このとき、統計量

${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}^{2}}$

の従う分布のことを自由度 k のカイ二乗分布と呼ぶ。

普通はこれを

${\displaystyle Z\sim \chi _{k}^{2}}$

と書く。カイ二乗分布は k という1個の母数をもつ。これは X_i の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定（英語版）などにも利用される。

性質

カイ二乗分布の確率密度関数は x ≥ 0 に対し

${\displaystyle f(x;k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}$

また x ≤ 0 に対し f_k(x) = 0 という形をとる。ここで Γ はガンマ関数である。

分布関数は

${\displaystyle F(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

（ただし γ(k, z) は不完全ガンマ関数）である。

${\displaystyle Y={\frac {X_{1}/\nu _{1}}{X_{2}/\nu _{2}}}}$（ただし ${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}}$ と ${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}}$ はカイ二乗分布に従う独立な確率変数）とすると、${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。

${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$（自由度2）ならば、X は期待値 2 の指数分布に従う。

自由度 k のカイ二乗分布に従う確率変数の期待値は k で、分散は 2k である。中央値は近似的に

${\displaystyle k-{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{27k}}-{\frac {8}{729k^{2}}}}$

となる。

カイ二乗分布は再生性を持つ。すなわち、${\displaystyle X\sim \chi _{m}^{2},\ Y\sim \chi _{n}^{2}}$ ならば、${\displaystyle X+Y\sim \chi _{m+n}^{2}}$ となる。

正規分布による近似

${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$ として、k が無限大に近づくと X の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている（歪度 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{k}}}}$、尖度 12/k）ため、X 自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。

• ${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$ は近似的に平均 √2k − 1、分散 1 の正規分布に従う（ロナルド・フィッシャー）。
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {X}{k}}}}$ は近似的に平均 1 − 2/9k、分散 2/9k の正規分布に従う（ウィルソンとヒルファティ、1931年）。

出典

1. Helmert, F. R. (1875): Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 20, 300-303, インターネットアーカイブ: zeitschriftfrma29runggoog/page/n287.
2. Pearson, K. (1900): On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling, Philosophical Magazine 5, 50, 157-175, doi:10.1080/14786440009463897.

関連項目

• 確率分布
• 確率密度関数
• カイ二乗検定
• 非心カイ二乗分布
• ガンマ関数
• ガンマ分布
• 推計統計学