ウォリス積分

数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

定義と証明

定義

ウォリス積分 ${\displaystyle I_{m}}$（m は 0 以上の整数）は

${\displaystyle I_{m}:=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta }$

で定義される。部分積分によって

${\displaystyle I_{m+1}=m(I_{m-1}-I_{m+1})}$

すなわち漸化式

${\displaystyle {\frac {I_{m+1}}{I_{m-1}}}={\frac {m}{m+1}}}$

が得られる。これより m の偶奇に応じて ${\displaystyle I_{m}}$ の値が求まる。

• ${\displaystyle I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}={\frac {1}{2n+1}}\cdot {\frac {4^{n}}{{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}}}$
• ${\displaystyle I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdots {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}{4^{n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}$

ただし${\displaystyle n!!}$は二重階乗である。

ウォリス積分におけるウォリスの公式

• ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta \,d\theta =\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta \,d\theta ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$

証明 — 先述の漸化式より

${\displaystyle (m+1)I_{m+1}I_{m}=mI_{m}I_{m-1}}$

が成り立つ。故に数列 ${\displaystyle \{mI_{m}I_{m-1}\}}$ は定数列で

${\displaystyle mI_{m}I_{m-1}=I_{1}I_{0}={\frac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \therefore I_{m}I_{m-1}={\frac {\pi }{2m}}.}$

ここで、${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}}$ で ${\displaystyle \sin ^{m+1}\theta \leq \sin ^{m}\theta \leq \sin ^{m-1}\theta }$ より

${\displaystyle {\begin{aligned}&I_{m+1}\leq I_{m}\leq I_{m-1}\\&I_{m+1}I_{m}\leq {I_{m}}^{2}\leq I_{m}I_{m-1}\\&{\frac {m}{m+1}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\leq m{I_{m}}^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

はさみうちの原理より

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\,I_{m}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}$

m = 2n を代入すると先述の ${\displaystyle I_{2n}}$ の求値より

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$

スターリングの公式との関係

→「スターリングの近似」も参照

スターリングの公式：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}={\sqrt {2\pi }}}$

はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し ${\displaystyle a_{n}:={\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}}$ とおくと、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{2n}}{{a_{n}}^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {\sqrt {2\pi }}{({\sqrt {2\pi }})^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

より

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$

が得られる。

応用

ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。

→導出については「ガウス積分 § ウォリスの公式を用いて」を参照

またカタラン数 ${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}}$ にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる：

• ${\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}}$

関連項目

• ジョン・ウォリス
• スターリングの近似
• ガウス積分
• 部分積分
• 漸化式