圏論 において、対象 の間の射 の集合(hom-set ともいう)は、集合の圏 への関手 を構成する。この関手をHom関手 (ほむかんしゅ、英語 : Hom functor )と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
C を局所的に小さな圏 (英語版 ) 、つまり、任意のhom-クラスが真クラス ではなく集合 である圏 とする。C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。
Hom (A , _) : C → Set
Hom (_, B ) : C op → Set
共変関手 Hom(A , _) は以下で与えられる:
Hom(A , _) は C の各対象 X を集合 Hom(A , X ) へ写す。
Hom(A , _) は C の各射 f : X → Y を、
g
↦
f
∘
g
{\displaystyle g\mapsto f\circ g}
で定義される写像 Hom(A , f ) : Hom(A , X ) → Hom(A , Y ) へ写す。
反変関手 Hom(_, B ) は以下で与えられる:
Hom(_, B ) は C の各対象 X を集合 Hom(X , B ) へ写す。
Hom(_, B ) は C の各射 h : X → Y を、
g
↦
g
∘
h
{\displaystyle g\mapsto g\circ h}
で定義される写像 Hom(h , B ) : Hom(Y , B ) → Hom(X , B ) へ写す。
関手 Hom(_, B ) は、B の点の関手 (英語版 ) (英語 : functor of points )とも呼ばれる。関手のペア Hom(A , _) と Hom(_, B ) は自然な 方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B' と h : A' → A に対して、次の図式が可換 となる。
2つの経路は g : A → B を f ∘g ∘h : A' →B' に写す。
上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手 (英語版 ) であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手
H
o
m
(
_
,
_
)
:
C
o
p
×
C
→
S
e
t
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,\_):C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} }
である。C op は C の逆圏 である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、HomC (_, _) という記号が使われることもある。
上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A は自然変換
H
o
m
(
h
,
_
)
:
H
o
m
(
A
,
_
)
→
H
o
m
(
A
′
,
_
)
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (h,\_):\mathop {\mathrm {Hom} } (A,\_)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (A',\_)}
を与え、すべての射 f : B →B' は自然変換
H
o
m
(
_
,
f
)
:
H
o
m
(
_
,
B
)
→
H
o
m
(
_
,
B
′
)
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,f):\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B')}
を与える。米田の補題 は、Hom関手の間のすべての 自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 Set C op への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手 を与える。
圏 C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手 と呼ばれ、しばしば
[
_
,
_
]
:
C
o
p
×
C
→
C
{\displaystyle \left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}
と書かれたり、
⇒
:
C
o
p
×
C
→
C
{\displaystyle {\mathord {\Rightarrow }}:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}
と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで
hom
(
_
,
_
)
:
C
op
×
C
→
C
{\displaystyle {\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C}
と書かれることもある。例としてはen:Category of relations などを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏 (英語版 ) と呼ばれる。
閉圏の単位対象 を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。
Hom
(
I
,
hom
(
−
,
−
)
)
≃
Hom
(
−
,
−
)
{\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)}
閉モノイダル圏 の場合には、これはカリー化 の概念へ拡張される。すなわち、
Hom
(
X
,
Y
⇒
Z
)
≃
Hom
(
X
⊗
Y
,
Z
)
{\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}
である。ここで
⊗
{\displaystyle \otimes }
はモノイダル圏 の定義によって与えられる内部積関手 である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手 である。対象
Y
⇒
Z
{\displaystyle Y\Rightarrow Z}
を内部Hom と呼ぶ。
⊗
{\displaystyle \otimes }
がデカルト積
×
{\displaystyle \times }
であるとき、対象
Y
⇒
Z
{\displaystyle Y\Rightarrow Z}
を指数対象 と呼び、
Z
Y
{\displaystyle Z^{Y}}
と書くこともある。
内部Homは、圏の内部言語 (英語版 ) と呼ばれる言語 を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算 や、対称モノイダル閉圏 の内部言語である線形型システム (英語版 ) がある。
次の形の関手は前層 である:
H
o
m
(
_
,
A
)
:
C
o
p
→
S
e
t
{\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,A):C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }
同様に、Hom(A , _) の形の関手は余前層である。
関手 F : C → Set がある Hom(A , _) と自然に同型 であるとき、F は表現可能関手 であるという。同様に、Hom(_, A ) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。
関手 Hom(_, _) : C op × C → Set は定義からプロファンクタ (英語 : Profunctor ) であり、特に恒等プロファンクタ
id
C
:
C
↛
C
{\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C}
である。
内部hom関手は極限 を保存する。すなわち、hom(X , _) : C → C は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X ) : C op → C は C op の極限(すなわち C の余極限)を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。
A をアーベル圏、A を A の対象とすると、HomA (A , _) は、A からアーベル群 の圏 Ab への左完全 共変関手である。この関手が完全 であることと、A が射影的対象 であることとは同値である[1] 。
R を環 、M を左 R -加群 とする。関手 HomR (M , _) : Mod -R → Ab は、テンソル積 関手 _ ⊗R M : Ab → Mod -R の右随伴関手 である。
Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.