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標準基底
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代数幾何学におけるトピックとしての標準基底は、1943年のグラスマン多様体(英語版)に関するホッジの仕事に端を発する。これは現在では「標準単項式論」と呼ばれる表現論の一部になっている。リー環の普遍包絡環の標準基底の概念は、ポワンカレ–バーコフ–ヴィットの定理(英語版)によって確立された。
量子群の標準基底(ルスティックの canonical basis)については en:Canonical basis#Quantum groups を参照。 局所環(特に形式冪級数環)のイデアルに対する広中の標準基底および類似概念である多項式環のイデアルに対するグレブナ基底も標準基底と呼ばれることがある。 |
線型代数学における標準基底(ひょうじゅんきてい、英: standard basis, canonical basis)または自然基底 (natural basis) は直交座標系の各軸方向に向かう単位ベクトルからなるユークリッド空間の基底を言う。例えばユークリッド平面の標準基底は
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であり、三次元ユークリッド空間の標準基底は
で与えられる。ここで、各ベクトル ex, ey, ez はそれぞれ x-軸方向、y-軸方向、z-軸方向を向いている。この基底を表すのによく用いられる記法として、{ex, ey, ez}, {e1, e2, e3}, {i, j, k}, {x, y, z} などを挙げることができる。単位ベクトルであることを強調するためにサーカムフレックス(キャレット)を載せることもある。
ここでいう基底は、それらのベクトルの線型結合として、任意のベクトルがそれぞれただ一通りに表されるという意味においていう。例えば三次元ベクトル v は必ず
なる形に書くことができて、スカラー vx, vy, vz は v の座標成分になる。