双曲線軌道

軌道力学ないし天体力学において双曲線軌道(hyperbolic trajectory)とは、ケプラー軌道の中で離心率が1よりも大きい軌道を指す。通常、この軌道上を運動する物体は中心天体に対して無限に遠ざかる。

青い線が双曲線軌道の例.

放物線軌道と同様、双曲線軌道もまた脱出軌道である。ただし、双曲線軌道上をとる物体の軌道エネルギーは０より大きい（放物線軌道では0）、つまり、無限遠で運動エネルギーを失う放物線軌道と異なり無限遠でも運動エネルギーを有する。

軌道の表現

→「軌道要素」も参照

2次曲線は焦点を原点とする極座標 (r, φ) により

${\displaystyle r={\frac {L}{1+e\cos \phi }}}$

で表される。離心率が e > 1 である双曲線の場合は、cos φ = −1/e、あるいは tan φ = ±√(e² − 1) において分母がゼロとなるため、φ → ±arctan √(e² − 1) において焦点からの距離が r → ∞ となる。

双曲線において長半径に相当するパラメータは、楕円と同じく

${\displaystyle a={\frac {L}{1-e^{2}}}<0}$

と定義して負のパラメータに選ぶ場合と、符号を変えて

${\displaystyle a=\left|{\frac {L}{1-e^{2}}}\right|={\frac {L}{e^{2}-1}}>0}$

と定義して正のパラメータに選ぶ場合の2通りの選び方がある。以降では前者を採用する。

真近点角 φ = 0 のとき、近点距離

${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {L}{1+e}}=|a|(e-1)=a(1-e)}$

となる。

無限遠点での速さ

双曲線軌道における、中心天体から無限に離れた地点での速さ(${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$)は、エネルギー保存則より、

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

ここで

• ${\displaystyle \mu \,\!}$ は 中心天体の重力定数
• ${\displaystyle a\,\!}$ は双曲線の軌道長半径に-1を掛けたもの

を表す。

${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$は(単位質量あたりの)軌道エネルギーと以下の式により一意に関係付けられる。

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

ここで、

• ${\displaystyle \epsilon \,\!}$は(単位質量あたりの)軌道エネルギー
• ${\displaystyle C_{3}\,}$は特性エネルギー

を表す。

軌道速度

双曲線軌道において、軌道速度 (${\displaystyle v\,}$)は以下の通り計算される。

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

ここで

• ${\displaystyle \mu \,}$ は中心天体の重力定数
• ${\displaystyle r\,}$は中心天体からの距離,
• ${\displaystyle a\,\!}$は双曲線の軌道長半径に-1を掛けたもの

を表す。

関連項目

• 軌道
• 人工衛星の軌道

外部リンク

• https://web.archive.org/web/20081008041919/http://homepage.mac.com/sjbradshaw/msc/traject.html
• http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html