結晶学 において、分率座標系 (ぶんりつざひょうけい、英 : fractional coordinate system )は、座標系 の一つであり、単位格子 のへりが原子核の位置を記述するための基底ベクトル として用いられる。部分座標 、規格化座標 、原子座標 とも呼ばれる。単位格子はそのへりa 、b 、c とそれらの間の角度α 、β 、γ によって定義される平行六面体 である。
長さa , b , c および角度 α , β , γ [1] を持つ平行六面体を用いた単位格子の定義
分率座標からオングストローム (Å) 単位の直交座標 へ戻すには、以下に示す演算行列 を分率座標に掛ける[2] [3] 。
[
x
y
z
]
=
[
a
b
cos
γ
c
cos
(
β
)
0
b
sin
γ
c
(
cos
α
−
cos
β
cos
γ
)
/
sin
γ
0
0
c
v
/
sin
γ
]
[
x
frac
y
frac
z
frac
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\cos \gamma &c\cos(\beta )\\0&b\sin \gamma &c(\cos \alpha -\cos \beta \cos \gamma )/\sin \gamma \\0&0&cv/\sin \gamma \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\text{frac}}\\y_{\text{frac}}\\z_{\text{frac}}\\\end{bmatrix}}}
ここで、a , b , c , α , β , γ は単位格子パラメータである。また vは以下のように定義される単位平行六面体の体積である。
v
=
1
−
cos
2
α
−
cos
2
β
−
cos
2
γ
+
2
cos
α
cos
β
cos
γ
{\displaystyle v={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}}
α =γ =90°、β >90°である単斜格子 の特別な場合では、
x
=
a
x
frac
+
c
z
frac
cos
β
y
=
b
y
frac
z
=
c
v
z
frac
=
c
z
frac
sin
β
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=ax_{\text{frac}}+cz_{\text{frac}}\cos \beta \\y&=by_{\text{frac}}\\z&=cvz_{\text{frac}}=cz_{\text{frac}}\sin \beta \end{aligned}}}
となる。
デカルト座標から分率座標へは以下のように変換できる[4] 。
[
x
frac
y
frac
z
frac
]
=
[
1
/
a
−
cos
γ
/
a
sin
γ
(
cos
α
cos
γ
−
cos
β
)
/
a
v
sin
γ
0
1
/
b
sin
γ
(
cos
β
cos
γ
−
cos
α
)
/
b
v
sin
γ
0
0
sin
γ
/
c
v
]
[
x
y
z
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{\text{frac}}\\y_{\text{frac}}\\z_{\text{frac}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/a&-\cos \gamma /a\sin \gamma &(\cos \alpha \cos \gamma -\cos \beta )/av\sin \gamma \\0&1/b\sin \gamma &(\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha )/bv\sin \gamma \\0&0&\sin \gamma /cv\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}}
Sussman, J.; Holbrook, S.; Church, G.; Kim, S. (1977). “A Structure-Factor Least-Squares Refinement Procedure For Macromolecular Structures Using Constrained And Restrained Parameters”. Acta Crystallogr A 33 : 800-804. doi :10.1107/S0567739477001958 . Rossmann, M.; Blow, D. (1962). “The Detection Of Sub-Units Within The Crystallographic Asymmetric Unit”. Acta Crystallogr 15 : 24-31. doi :10.1107/S0365110X62000067 .