ルンゲ=レンツベクトル
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物理学において、ルンゲ=レンツベクトル(英: Runge–Lenz vector)とは、ケプラー問題、すなわち逆二乗則に従う中心力の下の運動における保存量の一つ[1][2][3]。古典力学の天体運行のケプラー問題や量子力学の水素原子モデルの問題などに現れる。空間的な回転対称性の下で保存量となる角運動量のように、他の多くの保存量が幾何学的な対称性から導かれるのとは異なり、ルンゲ=レンツベクトルを導く対称性は力学的性質に由来し、力学的対称性と呼ばれる[2][3]。水素原子の束縛状態においては、量子力学的な角運動量演算子とルンゲ=レンツベクトル演算子の交換関係は4次特殊直交群SO(4)に対応するリー代数をなし、固有値問題の代数的な解法を与える。
ルンゲ=レンツベクトルという名はドイツの物理学者カール・ルンゲとヴィルヘルム・レンツ(英語版)に因む[4]。1924年の前期量子論の論文において、レンツはケプラー問題の摂動にルンゲ=レンツベクトルを適用し、その引用文献として、ルンゲのベクトル解析の著作 "Vectoranalysis" を挙げた[5][6]。なお、フランスの物理学者ピエール=シモン・ラプラスはルンゲやレンツに先駆けて、1799年の天体力学の著作 "Traité de mécanique céleste" の中でルンゲ=レンツベクトルの性質を論じており[4][7][8]、ラプラス=ルンゲ=レンツベクトル(英: Laplace–Runge–Lenz vector)とも呼ばれる。但し、その発見はさらに古く、少なくとも18世紀初頭のベルヌーイ家の門弟ヤコブ・ヘルマン(英語版)とヨハン・ベルヌーイの結果に遡るとされる[9]。