ボーアの原子模型 （ボーアのげんしもけい、英 : Bohr's model ）とは、ラザフォードの原子模型 [注 1] 原子模型 である。この模型は、水素 原子に関する実験結果を見事に説明し、量子力学 の先駆け（前期量子論 ）となった。
その後のシュレーディンガー による波動関数 の導入とボルン による確率解釈によって、この模型の「電子が軌道運動 をする」という解釈は誤りであることがわかった。
電磁気学 によると、電荷 を帯びた粒子 が円運動をしたとき、円運動の周期 の逆数に等しい振動数 の電磁波 を放出してエネルギー を失ってしまう。そのため、正の電荷 を帯びた原子核 の周りを負の電荷を持った電子 が同心円状の軌道を周回しているという太陽系型原子模型や土星型原子模型では、電子はエネルギーを失って原子核に引き寄せられてしまい、現実に原子が安定的に存在することと矛盾する。一方で、分光学における原子の発光スペクトルの研究により、原子の発する光は特定の複数の振動数のみに限られ、各振動数の間には一定の法則（リッツの結合法則 ）が成り立つことが知られていた。
それらの疑問点を説明するため、1913年にコペンハーゲン大学 のニールス・ボーア は「原子および分子の構成について」という3部作の論文の第1論文[1]
電子は特定の離散的なエネルギー状態（エネルギー準位 ）に属し、対応する軌道を運動する。この状態を定常状態という。定常状態では、電子は電磁波を放出することなく、古典力学にしたがって運動することができる。
エネルギー準位と対応する軌道は、量子条件が満たされるもののみが選択される。
電子はある定常状態から別の定常状態へ、瞬間的に移行することがある。これを状態の遷移という。そのときに放射（吸収）される光の振動数は振動数条件を満たす。 ボーアの示した模型は、なぜ円運動する電子がエネルギーを失わないか、という点を説明するものではないが、ボーアの量子条件
ボーアの量子条件と振動数条件 原子内の電子は、原子核との間にはたらくクーロン力 を向心力とする等速円運動を行うが、電子は次の条件を満たす円軌道のみをとることができ、この条件を満たす円軌道上では電子は電磁波を放出せず、円運動を行うことができると仮定する。
m
e
v
r
=
n
h
2
π
{\displaystyle m_{e}vr=n{\frac {h}{2\pi }}}
ここで、m e v は電子の速さ、h はプランク定数 であり、自然数 n を量子数 という。この条件は量子条件 定常状態 、定常状態における電子のエネルギーをエネルギー準位 という。
上述の条件は、角運動量が
ℏ
=
h
2
π
{\displaystyle \hbar ={\tfrac {h}{2\pi }}}
また、1個の電子が量子数nの定常状態から量子数n'の定常状態に移るとき、そのエネルギー準位の差のエネルギーを、1個の光子 として吸収または放出する。すなわち、量子数nにおけるエネルギー準位および量子数n'におけるエネルギー準位をそれぞれ 、
E
n
,
E
n
′
{\displaystyle E_{n},E_{n^{\prime }}}
|
E
n
′
−
E
n
|
=
h
ν
{\displaystyle |E_{n^{\prime }}-E_{n}|=h\nu }
ここで、
ν
{\displaystyle \nu }
E
n
′
−
E
n
>
0
{\displaystyle E_{n^{\prime }}-E_{n}>0}
のときは光子を吸収し、
E
n
′
−
E
n
<
0
{\displaystyle E_{n^{\prime }}-E_{n}<0}
のときは光子を放出する。これを振動数条件 という。
この量子条件に、1924年にルイ・ド・ブロイ によって提唱されたド・ブロイ波 の式を導入することによって、量子条件のもつ意味がより明瞭になる。ド・ブロイ波の理論では粒子に波動 としての性質をみとめ、その波長 は粒子の運動量 p を用いて
λ
=
h
p
{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}
と表される。これを量子条件に導入すると
m
e
v
r
=
p
e
r
=
n
h
2
π
{\displaystyle m_{e}vr=p_{e}r=n{\frac {h}{2\pi }}}
2
π
r
=
n
h
p
e
=
n
λ
e
{\displaystyle 2\pi r=n{\frac {h}{p_{e}}}=n\lambda _{e}}
すなわち、電子軌道（ここでは、円軌道であると仮定されている）の一周の長さは、電子における物質波の波長の整数倍となる。ボーアの量子条件は、電子が波としてふるまっていること（粒子と波動の二重性 ）を示唆している。
ボーアの原子模型は水素原子の輝線スペクトル に関する実験結果を説明することができる。
水素原子は陽子と電子で構成される2体系であるが、陽子の質量は電子に比較して圧倒的に大きいため、陽子は原点に固定されているものとして取り扱う。
水素原子中において、電子はクーロンポテンシャル
U
=
−
k
r
;
k
=
Z
0
c
4
π
e
2
{\displaystyle U=-{\frac {k}{r}};~k={\frac {Z_{0}c}{4\pi }}\,e^{2}}
の下で運動する。定常状態にある電子は、仮定により、古典力学に従って楕円軌道 をとる。
定常状態における系のエネルギーを E とすれば、軌道長半径 と軌道周期 は
a
=
−
k
2
E
{\displaystyle a=-{\frac {k}{2E}}}
T
=
π
k
(
−
E
)
3
/
2
m
e
2
{\displaystyle T={\frac {\pi k}{(-E)^{3/2}}}{\sqrt {\frac {m_{\text{e}}}{2}}}}
で表される。
電子の軌道が円軌道であるとき、電子の周回速度は
v
=
2
π
a
T
=
−
2
E
m
e
{\displaystyle v={\frac {2\pi a}{T}}={\sqrt {\frac {-2E}{m_{\text{e}}}}}}
となる。
ボーアの量子条件より、量子数 n に対して
m
e
v
n
a
n
=
k
m
e
−
2
E
n
=
n
ℏ
{\displaystyle m_{\text{e}}v_{n}a_{n}=k{\sqrt {\frac {m_{\text{e}}}{-2E_{n}}}}=n\hbar }
であり、対応するエネルギー準位が
E
n
=
−
m
e
k
2
2
ℏ
2
1
n
2
{\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{\text{e}}k^{2}}{2\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}
と求められる。
この式から判るように、量子数 n が大きいほどエネルギー準位は高い。
ここで量子数 n から n' への定常状態の遷移を考える。n > n'
h
ν
=
E
n
−
E
n
′
=
m
e
k
2
2
ℏ
2
(
1
n
′
2
−
1
n
2
)
{\displaystyle h\nu =E_{n}-E_{n'}={\frac {m_{\text{e}}k^{2}}{2\hbar ^{2}}}\left({\frac {1}{n'^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}
である。放出される光の波長で表せば
1
λ
=
E
n
−
E
n
′
h
c
=
m
e
k
2
4
π
ℏ
3
c
(
1
n
′
2
−
1
n
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {E_{n}-E_{n'}}{hc}}={\frac {m_{\text{e}}k^{2}}{4\pi \hbar ^{3}c}}\left({\frac {1}{n'^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}
となり、バルマー系列 などの水素原子の輝線スペクトルの関係式と同じ形の式が得られる。
比例係数は
R
∞
=
m
e
k
2
4
π
ℏ
3
c
=
Z
0
2
c
m
e
e
4
8
h
3
{\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}k^{2}}{4\pi \hbar ^{3}c}}={\frac {Z_{0}^{2}cm_{\text{e}}e^{4}}{8h^{3}}}}
である。
物理定数から計算されるこの比例係数の値は、水素原子のスペクトルの観測から得られたリュードベリ定数 と見事に一致し、ボーアの模型の正しさが実証された。
水素原子の電子軌道
ヘリウム原子の電子軌道
フッ素原子の電子軌道
既に見たようにボーアの原子模型において、量子数 n に対応して電子のエネルギーが離散化される。量子数 n = 1基底状態 と呼ぶ。基底状態よりエネルギーの高い量子数 n ≥ 2励起状態 と呼ぶ。基底状態から励起状態へ移ることを励起 という。
また、量子数 n に対応する電子の軌道半径は
a
n
=
−
k
2
E
n
=
ℏ
2
m
e
k
n
2
=
4
π
Z
0
c
ℏ
2
m
e
e
2
n
2
{\displaystyle a_{n}=-{\frac {k}{2E_{n}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}k}}\,n^{2}={\frac {4\pi }{Z_{0}c}}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}\,n^{2}}
となる。ボーアの原子模型においてはエネルギーだけでなく軌道半径も離散化され、基底状態で最も軌道半径が小さく、高いエネルギー準位へ励起されるに従って軌道半径は大きくなる。基底状態における軌道半径は特にボーア半径
a
B
=
4
π
Z
0
c
ℏ
2
m
e
e
2
≈
0.053
nm
{\displaystyle a_{\text{B}}={\frac {4\pi }{Z_{0}c}}{\frac {\hbar ^{2}}{m_{\text{e}}e^{2}}}\approx 0.053\ {\text{nm}}}
である。
軌道周期と周回速度はそれぞれ
T
n
=
π
k
(
−
E
n
)
3
/
2
m
e
2
=
2
π
ℏ
3
m
e
k
2
n
3
=
1
2
c
R
∞
n
3
{\displaystyle T_{n}={\frac {\pi k}{(-E_{n})^{3/2}}}{\sqrt {\frac {m_{\text{e}}}{2}}}={\frac {2\pi \hbar ^{3}}{m_{\text{e}}k^{2}}}\,n^{3}={\frac {1}{2cR_{\infty }}}\,n^{3}}
v
n
=
−
2
E
n
m
e
=
k
ℏ
1
n
=
Z
0
c
e
2
4
π
ℏ
1
n
=
α
c
n
{\displaystyle v_{n}={\sqrt {\frac {-2E_{n}}{m_{\text{e}}}}}={\frac {k}{\hbar }}{\frac {1}{n}}={\frac {Z_{0}ce^{2}}{4\pi \hbar }}{\frac {1}{n}}={\frac {\alpha c}{n}}}
となる。
量子数 n → ∞
lim
n
→
∞
E
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }E_{n}=0}
lim
n
→
∞
a
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
である。電子の軌道半径が無限大の状態とは、電子が束縛を逃れた状態であり、すなわちイオン化された状態である。水素原子の第一イオン化エネルギー は基底状態から量子数 n → ∞
E
b
(
H
)
=
0
−
E
1
=
h
c
R
∞
≈
13.6
eV
{\displaystyle E_{\text{b}}({\text{H}})=0-E_{1}=hcR_{\infty }\approx 13.6\ {\text{eV}}}
となる。
水素のほかにも原子番号 Z の原子についてボーアの原子模型を用いると、クーロンポテンシャルを
U
=
−
k
′
r
;
k
′
=
Z
0
c
4
π
Z
e
2
=
Z
k
{\displaystyle U=-{\frac {k'}{r}};~k'={\frac {Z_{0}c}{4\pi }}Ze^{2}=Zk}
と置き換えることに相当する。
これによって原子中の電子のエネルギーは Z 2 Z − 1
E
n
=
−
Z
2
h
c
R
∞
n
−
2
{\displaystyle E_{n}=-Z^{2}hcR_{\infty }n^{-2}}
a
n
=
a
B
Z
n
2
{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{\text{B}}}{Z}}\,n^{2}}
このように原子の種類によって、特有の電子軌道のパターンができる[2]
長岡半太郎 の原子模型を発展させたものであるといわれる。
Bohr, N. (April 5, 1913). “On the Constitution of Atoms and Molecules [ 原子および分子の構造について] ” . Phil. Mag. Series 6 26 (151): 1-25. doi :10.1080/14786441308634955 . ISSN 1478-6435 . LCCN 2003-249007 . OCLC 476300855 . http://www.chemteam.info/Chem-History/Bohr/Bohr-1913a.html .Bohr, N. (July 1913). “On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II, Systems Containing Only a Single Nucleus” (PDF ). Phil. Mag. Series 6 26 : 476-502. ISSN 1478-6435 . LCCN 2003-249007 . OCLC 476300855 . http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13b/eng.pdf .Bohr, N. (November 1913). “On the Constitution of Atoms and Molecules, Part III, Systems containing several nuclei”. Phil. Mag. Series 6 26 : 857-875. ISSN 1478-6435 . LCCN 2003-249007 . OCLC 476300855 .広重, 徹 『物理学史II』培風館 〈新物理学シリーズ〉、1968年3月。ASIN 4563024066 。ISBN 4563024066 。 NCID BN00957321 。OCLC 673599647 。全国書誌番号 :68001733 。Backman, Dana E、Seeds, Michael A 著、中村 理・松浦 美香子・高木 俊暢・小野寺 仁人 訳『最新天文百科 宇宙・惑星・生命をつなぐサイエンス』有本 信雄 監訳、丸善 、2010年10月23日。ASIN 4621082787 。ISBN 978-4-621-08278-2 。 NCID BB03649795 。OCLC 743346560 。全国書誌番号 :21838611 。 近角 聡信・三浦 登（編） 編『教科書マスターから受験対策まで 理解しやすい物理 』（物理基礎収録版）文英堂 、2013年3月2日。ASIN 4578242188 。ISBN 978-4-578-24218-5 。 NCID BB14747275 。OCLC 828854819 。全国書誌番号 :22208864 。http://www.bun-eido.co.jp/products/?menu=3&submenu=66&code=24217 。 
