数学において、古典的なピタゴラス平均(ピタゴラスへいきん、英: Pythagorean means)とは、算術平均(AM)、幾何平均(GM)、調和平均(HM)の3つである。これらの平均は、幾何学や音楽における重要性から、ピタゴラス教団やそれ以降の世代のギリシャの数学者たち[1]によって研究されていた。
これらは次のように定義される。
それぞれの平均は以下の性質を持っている。
- 一次斉次性
- 交換時の不変性
- 任意のとに対して
- 単調性
- 冪等性
単調性と冪等性の組み合わせは、ある集合の平均値が常にその集合の両極端の間にあることを意味する。
調和平均と算術平均は、正の引数については互いに逆数と双対である。
一方、幾何平均はその逆数と双対である。
Heath, Thomas. History of Ancient Greek Mathematics
AC = a と BC = b の場合。 OC = aとbのAM であり、半径 r = QO = OG である。
ピタゴラスの定理より、QC² = QO² + OC² ∴ QC =√QO² + OC² = QM。
ピタゴラスの定理より、OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM。
三角形の相似より、HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM。