ドッティ数 (英 : Dottie number )とは、次の方程式を満たす唯一の実数解(x ≈ 0.739085...[1] )のことである。
cos
x
=
x
{\displaystyle \cos x=x}
この数はリンデマンの定理 より超越数 である[2] 。関数 f (x ) = cos x − x は無限個の複素数 根を持つが、うち吸引的不動点 となるのはドッティ数に限る。
ラグランジュ反転公式 (英語版 ) により関数 f (x ) = cos x − x の無限級数 表示
f
(
x
)
=
π
2
+
∑
n
o
d
d
a
n
π
n
{\displaystyle f(x)={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}
が得られる。ここで a n は奇数 n について次のように定められる有理数 である[3] [4] [5] 。
a
n
=
1
n
!
2
n
lim
m
→
π
2
∂
n
−
1
∂
m
n
−
1
(
cos
m
m
−
π
/
2
−
1
)
−
n
=
−
1
4
,
−
1
768
,
−
1
61440
,
−
43
165150720
,
…
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}
この定数の名前は、フランスの "Dottie" という名前の教授が計算機のコサインのボタンを何回も押している内にこの数を発見したことに由来する[3] 。計算機の角度の単位がラジアン ではなく度数法 に設定されている場合、ドッティ数ではなく 0.999847... へと収束する[6] 。
ドッティ数 D は正則化不完全ベータ関数 を用いた次の表示を持つ。
D
=
1
−
(
2
I
1
2
−
1
(
1
2
,
3
2
)
−
1
)
2
{\displaystyle D={\sqrt {1-\left(2{\text{I}}_{\frac {1}{2}}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}}}
D
=
1
−
(
1
−
(
∫
−
∞
∞
16
(
z
−
sinh
(
z
)
)
2
+
12
π
2
(
4
(
z
−
sinh
(
z
)
)
2
+
3
π
2
)
2
+
16
π
2
(
z
−
sinh
(
z
)
)
2
d
z
)
−
1
)
2
{\displaystyle D={\sqrt {1-\left(1-\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {16(z-\sinh(z))^{2}+12\pi ^{2}}{\left(4(z-\sinh(z))^{2}+3\pi ^{2}\right)^{2}+16\pi ^{2}(z-\sinh(z))^{2}}}\,dz\right)^{-1}\right)^{2}}}}
.
D
=
π
2
−
1
2
π
∫
0
∞
ln
(
2
π
cosh
(
x
)
+
π
2
x
2
+
cosh
2
(
x
)
+
1
)
d
x
{\displaystyle D={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {2\pi \cosh(x)+\pi ^{2}}{x^{2}+\cosh ^{2}(x)}}+1\right)\,dx}