Trasformata inversa di Laplace

In matematica, la trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace è l'inversa della trasformata di Laplace. Entrambe hanno importanti applicazioni nello studio/analisi dei sistemi dinamici lineari.

Definizione

Detta ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ la trasformata di Laplace, l'antitrasformata di Laplace di una funzione ${\displaystyle F(s)}$ è la funzione ${\displaystyle f(t)}$ tale che:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$

Si prova che se una funzione ${\displaystyle F(s)}$ ha trasformata inversa ${\displaystyle f(t)}$, ovvero ${\displaystyle f}$ è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione precedente, allora ${\displaystyle f(t)}$ è univocamente determinata.

Una formulazione integrale dell'antitrasformata di Laplace, chiamata anche integrale di Bromwich o formula inversa di Mellin, è data dall'integrale di linea:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}$

dove l'integrazione avviene lungo la linea verticale ${\displaystyle \Re (s)=\gamma }$ nel piano complesso, con ${\displaystyle \gamma }$ maggiore della parte reale di tutte le singolarità di ${\displaystyle F}$. Questo assicura che la linea di contorno è nella regione di convergenza. Se tutte le singolarità di ${\displaystyle F}$ sono dalla parte sinistra del piano complesso o se ${\displaystyle F}$ non ha singolarità, allora ${\displaystyle \gamma }$ può essere preso nullo e la formula diventa uguale alla trasformata di Fourier inversa. Infatti, se ${\displaystyle s=x+iy}$, si ha

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{-iT}^{iT}e^{st}F(s)\,ds={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}e^{iyt}F(iy)\,dy}$

Bibliografia

• (EN) B. J. Davies, Integral transforms and their applications, 3rd, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4.
• (EN) A. V. Manzhirov e Andrei D. Polyanin, Handbook of integral equations, Londra, CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3.
• (EN) K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, 3rd, Cambridge University Press, 2010, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3.

Voci correlate

• Teorema di inversione di Fourier
• Teorema di inversione di Mellin
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

• (EN) Mellin's inverse formula, in PlanetMath.
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Rational inversion of the Laplace Transform, su jaranet.us. URL consultato l'11 luglio 2009 (archiviato dall'url originale il 30 agosto 2009).

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