Teorema di Stone

Nella teoria dei gruppi, il teorema di Stone afferma che dato un gruppo ad un parametro fortemente continuo di operatori unitari ${\displaystyle U(t)}$ definiti sullo spazio di Hilbert ${\displaystyle H,}$ esiste un dominio denso ${\displaystyle D(A)}$ in ${\displaystyle H}$ in cui per ogni ${\displaystyle \psi \in D(A)}$ si ha

${\displaystyle \lim _{t\to \ 0}{\frac {U(t)-I}{it}}\psi ={\frac {1}{i}}{\frac {\mathrm {d} U(t)}{\mathrm {d} t}}\psi =A\psi ,}$

con ${\displaystyle A\colon D(A)\to H}$ operatore autoaggiunto e ${\displaystyle U(t)=e^{itA}.}$

Una delle conseguenze più importanti di questo teorema è l'assioma dell'evoluzione degli stati puri in meccanica quantistica nel quale si afferma che l'evoluzione di uno stato puro, descritto da ${\displaystyle \psi \in H.}$

Un sistema isolato in meccanica quantistica è dato da ${\displaystyle \psi (t)=U(t)\psi }$ nel quale il proiettore è ${\displaystyle U(t)=e^{\frac {-i{\mathrm {H} }t}{\hbar }}}$ nel quale ${\displaystyle \mathrm {H} }$ è l'hamiltoniana quantistica che descrive l'energia del sistema.

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