Teorema di Lagrange (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il teorema di Lagrange è un enunciato che prende il nome da Joseph-Louis Lagrange su quanto frequentemente un polinomio sugli interi può assumere valore uguale a un multiplo di un numero primo fissato. Più precisamente, esso afferma che se ${\displaystyle p}$ è un numero primo e ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ è un polinomio a coefficienti interi, allora:

• ogni coefficiente di ${\displaystyle f(x)}$ è divisibile per ${\displaystyle p}$, oppure
• ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\bmod {p}}}$ ha, al massimo, grado di ${\displaystyle f(x)}$ soluzioni incongruenti.

Le soluzioni sono "incongruenti" se non differiscono di un multiplo di ${\displaystyle p}$. Se il modulo non è primo, allora è possibile che ci siano più di grado di ${\displaystyle f(x)}$ soluzioni.

Una dimostrazione del teorema di Lagrange

Le due idee chiave sono le seguenti. Sia ${\displaystyle g(x)\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[x]}$ il polinomio ottenuto da ${\displaystyle f(x)}$ prendendo i coefficienti ${\displaystyle \mod p}$. Ora (i) ${\displaystyle f(k)}$ è divisibile per ${\displaystyle p}$ se e solo se ${\displaystyle g(k)=0}$; (ii) ${\displaystyle g(k)}$ non ha più radici del suo grado.

Più rigorosamente, cominciamo ad osservare che ${\displaystyle g(x)=0}$ se e solo se ogni coefficiente di ${\displaystyle f(x)}$ è divisibile per ${\displaystyle p}$. Supponiamo che ${\displaystyle g(x)}$ non sia 0; il suo grado è, quindi, ben definito. È facile vedere che ${\displaystyle \textstyle {\text{grado di }}g(x)\leq {\text{grado di }}f(x)}$. Per dimostrare (i), prima osserviamo che possiamo calcolare ${\displaystyle g(k)}$ o direttamente, cioè inserendo (la classe residua di) ${\displaystyle k}$ ed eseguendo operazioni aritmetiche in ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, o riducendo ${\displaystyle f(k)\mod p}$. Quindi ${\displaystyle g(k)=0}$ se e solo se ${\displaystyle f(k)\equiv 0{\bmod {p}}}$, cioè se e solo se ${\displaystyle f(k)}$ è divisibile per ${\displaystyle p}$. Per dimostrare (ii), osserviamo che ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ è un campo, il che è un fatto normale; una dimostrazione rapida consiste nell'osservare che, poiché ${\displaystyle p}$ è primo, ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ è un dominio d'integrità finito, quindi è un campo. Un altro fatto normale è che un polinomio non-nullo su un campo ha al massimo tante radici quanto il suo grado; ciò segue dall'algoritmo di divisione.

Infine, osserviamo che due soluzioni ${\displaystyle f(k_{1}),f(k_{2})\equiv 0{\bmod {p}}}$ sono incongruenti se e solo se ${\displaystyle k_{1}\not \equiv k_{2}{\bmod {p}}}$. Mettendo tutto insieme: il numero di soluzioni incongruenti, per via di (i), è lo stesso del numero di radici di ${\displaystyle g(x)}$, che, per via di (ii), è al massimo ${\displaystyle {\text{grado di }}g(x)}$, che è al massimo ${\displaystyle {\text{grado di }}f(x)}$.

Bibliografia

• William J. LeVeque, Topics in Number Theory, Volumes I and II, New York, Dover Publications, 2002 [1956], p. 42, ISBN 978-0-486-42539-9, Zbl 1009.11001.
• James J. Tattersall, Elementary Number Theory in Nine Chapters, 2nd, Cambridge University Press, 2005, p. 198, ISBN 0-521-85014-2, Zbl 1071.11002.

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