Teorema del consenso

Il teorema del consenso è un teorema estremamente utile nella semplificazione di un'espressione booleana. In una espressione del tipo ${\displaystyle xy+{\bar {x}}z+yz}$ si dimostra che il termine ${\displaystyle yz}$ è ridondante e può essere eliminato semplificando l'espressione originaria in ${\displaystyle xy+{\bar {x}}z}$.

In modo intuitivo possiamo comprendere il teorema osservando che, in una serie di tre somme, per essere rilevante ai fini del risultato dovremmo avere ${\displaystyle yz=1}$. In tal caso avremmo anche ${\displaystyle y=1}$ e ${\displaystyle z=1}$, pertanto uno qualsiasi dei due termini ${\displaystyle xy}$ e ${\displaystyle {\bar {x}}z}$ deve valere ${\displaystyle 1}$, sia che valga ${\displaystyle {\bar {x}}=1}$ oppure valga ${\displaystyle x=1}$. Osserviamo come essendo sufficiente un prodotto uguale ad ${\displaystyle 1}$ per ottenere ${\displaystyle 1}$ come risultato dell'intera somma, non sarebbe influente il prodotto ${\displaystyle yz}$.

Teorema del consenso

${\displaystyle xy+{\bar {x}}z+yz=xy+{\bar {x}}z}$

Dimostrazione

La prova del teorema è molto semplice in quanto basta verificare che il primo termine a sinistra dell'uguaglianza è equivalente al secondo.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}xy+{\bar {x}}z+yz&=xy+{\bar {x}}z+yz(x+{\bar {x}})\\&=xy+{\bar {x}}z+xyz+{\bar {x}}yz\\&=xy+xyz+{\bar {x}}z+{\bar {x}}yz\\&=xy(1+z)+{\bar {x}}z(1+y)\\&=xy(1)+{\bar {x}}z(1)\\&=xy+{\bar {x}}z\\\end{alignedat}}}$

Il termine ridondante ${\displaystyle yz}$ è detto termine di consenso e rappresenta il consenso dei termini ${\displaystyle xy}$ e ${\displaystyle {\bar {x}}z}$. In generale, dati due termini in cui una variabile compare in un termine e il complemento della stessa variabile compare nell'altro, il termine di consenso è formato dal prodotto dei due termini in questione eliminando da essi la variabile e il suo complemento.

Ad esempio il consenso di ${\displaystyle xyz}$ e ${\displaystyle {\bar {y}}wz}$ è ${\displaystyle (xz)(wz)=xwz}$.

Forma duale del teorema del consenso

${\displaystyle (x+y)({\overline {x}}+z)(y+z)=(x+y)({\overline {x}}+z)}$

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