Superficie conica

In matematica una superficie conica è una superficie generata dal movimento rigido di una retta detta generatrice lungo i punti di una circonferenza detta direttrice per un punto fisso detto vertice, non complanare con alla direttrice. Perciò, il punto di incontro di tutte le direttrici è il vertice, che divide ogni direttrice in due semirette e che divide la superficie in due falde.

Una superficie conica circolare

Si possono avere due tipi di coniche: quando delta^{[cosa sarebbe delta?]} è una conica, non degenere, viene generato il cosiddetto cono quadrico^[1], altrimenti, cioè quando delta^{[cosa sarebbe delta?]} non è una curva conica, il cono viene detto cono generico.

Il cilindro viene considerato come caso particolare di cono avente vertice posto a distanza infinita.

Secondo il tipo di conica che ha un cono quadrico come propria direttrice retta, si ha la seguente classificazione:

• Cono circolare: si ottiene dal movimento di una retta ${\displaystyle g}$, detta generatrice, intorno a un'altra retta ${\displaystyle a}$, detta asse di rotazione, nella condizione in cui tali rette ${\displaystyle g}$ e ${\displaystyle a}$ siano tra loro complanari. In questo modo, sezionando tale cono con un piano perpendicolare all'asse ${\displaystyle a}$ e non passante per il suo vertice, si ha una circonferenza come direttrice retta dello stesso cono.
• Cono ellittico.
• Cono iperbolico.

Equazioni

Una superficie conica ${\displaystyle S}$ può essere descritta parametricamente come:

${\displaystyle S(t,u)=v+uq(t),}$

con ${\displaystyle v}$ il vertice della superficie e ${\displaystyle q}$ la sua direttrice.

Una superficie conica circolare retta di apertura ${\displaystyle 2\theta }$, l'asse della quale è l'asse delle ${\displaystyle z}$, e con vertice l'origine, è descritta dalla seguente parametrizzazione:

${\displaystyle S(t,u)=(u\sin \theta \cos t,u\sin \theta \sin t,u\cos \theta ),}$

dove ${\displaystyle t\in [0,2\pi )}$ e ${\displaystyle u\in (-\infty ,\infty )}$. Nella forma implicita, la stessa superficie è descritta dall'equazione ${\displaystyle S(x,y,z)=0}$, dove:

${\displaystyle S(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.}$

Più in generale, una superficie conica circolare retta, con vertice nell'origine e l'asse parallelo al vettore ${\displaystyle \mathbf {d} }$, di apertura ${\displaystyle 2\theta }$, è data dall'equazione vettoriale implicita ${\displaystyle S(\mathbf {x} )=0}$, dove:

${\displaystyle S(\mathbf {x} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )^{2}-(\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )(\cos \theta )^{2},}$

ossia:

${\displaystyle S(\mathbf {x} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} -|\mathbf {d} ||\mathbf {x} |\cos \theta ,}$

dove ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$, e ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {d} }$ denota il prodotto scalare.

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, una superficie conica con direttrice ellittica, è data dalla seguente equazione omogenea di grado 2:

${\displaystyle S(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2uxy+2vyz+2wzx=0.}$

Bibliografia

1. Un cono quadrico si può definire come proiezione di una conica (da un centro « vertice » fuori dal suo piano). Viceversa la sezione di un cono quadrico con un piano non passante per il vertice è una conica. Enriques F., Lezioni di geometria proiettiva. Italian ed. 1898. p. 208

Voci correlate

• Proiezione centrale
• Superficie rigata
• Superficie proiettiva
• Sezione conica

Collegamenti esterni

• Sezioni circolari di un cono ellittico, su assex.altervista.org.

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