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In analisi matematica, una serie di funzioni è uno strumento usato per generalizzare lo studio della somma di un numero finito di funzioni e giungere ad alcuni importanti risultati di convergenza, per poter esprimere una funzione qualsiasi come una somma (infinita) di altre funzioni, magari più semplici da trattare.
Una serie di funzioni, analogamente alle serie numeriche, è definita come una particolare successione associata ad un'altra successione.
Tale successione è una successione di funzioni , cioè ogni elemento della successione è una funzione , e la serie associata è definita dalla legge e si indica anche con:
Nel definire le serie di funzioni, e nell'enunciarne molti teoremi e proprietà, non è affatto necessario presupporre su D alcuna struttura. Dove sia richiesto, l'insieme D potrà essere uno spazio topologico, metrico, etc. o un certo sottoinsieme di , , o .
In analogia con le serie numeriche, i termini e vengono detti rispettivamente termine generale e somma parziale della serie.
Sia data la seguente serie di funzioni
La serie converge puntualmente ad una funzione in se la serie numerica:
converge a per ogni in . L'insieme viene detto dominio di convergenza puntuale della serie.
La serie converge assolutamente se la serie di termine generale converge puntualmente.
La serie converge uniformemente ad una funzione in se converge uniformemente la successione delle somme parziali .
La serie converge totalmente ad una funzione in se e solo se passa il criterio di Weierstrass, ovvero se valgono le seguenti condizioni equivalenti:
Queste condizioni esprimono, in sostanza, l'esistenza di una serie a termini positivi convergente che "domini" la serie in questione, analogamente con il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
Se una serie converge totalmente, allora converge anche uniformemente e assolutamente. Non è vero il viceversa.
Se una serie converge uniformemente in , allora converge uniformemente a in , ovvero:
Sia una serie di funzioni continue che converge uniformemente alla funzione somma . Allora anche la funzione somma è continua.
Sia una serie di funzioni derivabili in . Se la serie delle derivate è uniformemente convergente, allora la derivata della funzione somma può essere scritta come la serie delle derivate.
Sia una serie di funzioni che converge uniformemente in . Allora la serie dell'integrale è pari all'integrale della serie, cioè l'integrale della funzione somma.
Gli esempi di serie di funzioni sono molteplici nell'analisi. Si segnalano in particolare:
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