Radice dell'unità

In matematica, le radici $n$ -esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui $n$ -esima potenza è pari a $1$ , ovvero le soluzioni dell'equazione:

x^{n}=1.

Nel campo complesso $\mathbb {C}$ per ogni intero positivo $n$ esistono esattamente $n$ radici $n$ -esime dell'unità e sono nella forma

r_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}=e^{2\pi ik/n}\;

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con $k$ intero, $0\leq k\leq n-1$ .

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con $n$ lati che ha un vertice in $(1,0)$ .

Tra queste radici le uniche reali sono r₀ = 1 e, se $n=2k$ (cioè è pari) r_k = -1.

Per ogni $n$ l'insieme delle radici $n$ -esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive $n$ -esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici $n$ -esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive $n$ -esime dell'unità sono quelle radici $n$ -esime dell'unità tali che:

\forall m<n~:~r^{m}\neq 1\ \

.

Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero $\phi (n)$ di interi minori di $n$ e coprimi con $n$ . Qui $\phi$ è la funzione φ di Eulero.

Le radici $n$ -esime di un numero complesso $z$ possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare

z=|z|e^{i\phi }=|z|\left(\cos \phi +i\sin \phi \right).

Se $z$ è diverso da zero, le radici $n$ -esime di $z$ sono effettivamente $n$ radici distinte. Una di queste è la seguente

w_{0}={\sqrt[{n}]{|z|}}e^{\frac {i\phi }{n}}.

Infatti

w_{0}^{n}=\left({\sqrt[{n}]{|z|}}e^{\frac {i\phi }{n}}\right)^{n}=|z|e^{\frac {ni\phi }{n}}=|z|e^{i\phi }.

Più in generale, le $n$ radici $w_{0},\ldots ,w_{n-1}$ di $z$ si ottengono moltiplicando $w_{0}$ con le $n$ radici dell'unità. Quindi

w_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)

Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di $n$ lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è ${\sqrt[{n}]{|z|}}$ .

Esempi

Le radici quarte di un numero reale positivo $a$ sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di $a$ per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di $a$ sono quindi:

{\sqrt[{4}]{a}},i{\sqrt[{4}]{a}},-{\sqrt[{4}]{a}},-i{\sqrt[{4}]{a}}.

Le radici $n$ -esime di -1 formano nel piano complesso un poligono regolare di $n$ lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di $\pi /n$ in senso antiorario il poligono formato dalle radici $n$ -esime dell'unità. Il numero $-1$ è vertice del poligono quando $n$ è dispari.