Quadratura di Gauss

In analisi numerica, le formule gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, utilizzate per l'approssimazione di un integrale definito della forma ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ conoscendo ${\displaystyle n+1}$ valori della funzione ${\displaystyle f}$ nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$.

Confronto tra la regola di quadratura di Gauss a 2 punti e la regola dei trapezi. La linea blu è il polinomio ${\displaystyle y(x)=7x^{3}-8x^{2}-3x+3}$, il cui integrale in ${\displaystyle [-1,1]}$ è ${\displaystyle 2/3.}$ La regola del trapezio dà l'integrale della linea arancione tratteggiata, uguale a ${\displaystyle y(-1)+y(1)=-10}$. La regola di quadratura di Gauss a 2 punti dà l'integrale della linea nera tratteggiata, uguale a ${\displaystyle y(-{\sqrt {1/3}})+y({\sqrt {1/3}})=2/3}$. Tale risultato è esatto in quanto la regione verde ha la stessa area delle somma delle aree delle regioni rosse.

Teorema

Dati ${\displaystyle n+1}$ punti nodali ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, e una funzione ${\displaystyle f(x)}$, il grado di precisione di una formula interpolatoria di quadratura ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})w_{i}}$ è uguale a ${\displaystyle 2n+1}$ se questi nodi sono gli zeri di un polinomio ortogonale ${\displaystyle P_{n+1}(x)}$ in ${\displaystyle [a,b]}$ rispetto ad una funzione peso ${\displaystyle w(x)}$.

Dimostrazione

Per ipotesi si scelga una ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {P} _{n}}$, spazio dei polinomi di grado ${\displaystyle n}$, la scelta della ${\displaystyle f(x)}$ infatti non influenza la successione di valori ${\displaystyle w_{i}}$.

Vale allora che

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)w(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})w_{i}}$

perché, essendo univocamente determinati i pesi ${\displaystyle w_{i}}$, la formula di quadratura deve essere di precisione almeno ${\displaystyle n}$. Si consideri il polinomio ${\displaystyle B(x)}$, un polinomio di grado ${\displaystyle 2n+1}$, tale che ${\displaystyle B(x_{i})=f(x_{i})}$ per ogni ${\displaystyle i,}$ e che ${\displaystyle B(x)-f(x)=P_{n+1}(x)g_{n}(x)}$, dove ${\displaystyle P_{n+1}}$ è un polinomio ortogonale di grado ${\displaystyle n+1}$ avente gli ${\displaystyle n+1}$ zeri nei punti nodali.

È quindi possibile scrivere

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)[B(x)-f(x)]dx=\int _{a}^{b}w(x)[P_{n+1}(x)g_{n}(x)]dx,}$

ma il secondo membro dell'uguaglianza vale 0 essendo ${\displaystyle P_{n+1}(x)}$ polinomio ortogonale. Ne consegue che

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)B(x)dx=\int _{a}^{b}w(x)f(x)dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})w_{i}=\sum _{i=0}^{n}B(x_{i})w_{i},}$

da cui risulta che, considerando il primo e l'ultimo membro della serie di uguaglianze, i pesi ${\displaystyle \{w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}\}}$ sono i coefficienti di una formula di quadratura numerica di grado ${\displaystyle 2n+1}$.

Calcolo dei pesi

Dalla definizione di formula interpolatoria di quadratura numerica si ha che il generico peso di interpolazione ${\displaystyle w_{i}}$ è costruito come

${\displaystyle \int _{a}^{b}l_{i}(x)dx}$

o generalmente

${\displaystyle \int _{a}^{b}l_{i}(x)w(x)dx}$

dove ${\displaystyle l_{i}(x)}$ è il coefficiente del polinomio di Lagrange di indice ${\displaystyle i}$. Si ha che ${\displaystyle l_{i}(x)}$ può anche essere espresso come

${\displaystyle h(x) \over (x-x_{i})h'(x_{i}).}$

Se si intende con ${\displaystyle h(x)}$ la funzione così definita:

${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).}$

Il polinomio ortogonale ha ${\displaystyle n+1}$ zeri, quindi

${\displaystyle P_{n+1}(x_{i})=a_{n+1}h(x),}$

dunque

${\displaystyle l_{i}(x)={P_{n+1}(x) \over (x-x_{i})P'_{n+1}(x_{i})}.}$

Pertanto il generico peso ${\displaystyle w_{i}}$ è calcolabile come

${\displaystyle {1 \over P'_{n+1}(x_{i})}\int _{a}^{b}{P_{n+1}(x)w(x)dx \over (x-x_{i})}.}$

Bibliografia

• E. T. Whittaker e G. Robinson The Calculus of Observations (London, Blackie & sons, 1924) p. 159
• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (New York, Dover, 1972) p. 887
• P. J. Davis e P. Rabinowitz, Methods of numerical integration. (New York, Academic Press, 1975).

Collegamenti esterni

• Gaussian Quadrature, su pathfinder.scar.utoronto.ca. URL consultato il 18 maggio 2007 (archiviato dall'url originale il 1º maggio 2007).

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