Processo di Poisson

Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezione di variabili aleatorie ${\displaystyle N_{t}}$ per ${\displaystyle t>0,}$ che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo 0 al tempo ${\displaystyle t.}$ Inoltre il numero di eventi tra il tempo ${\displaystyle a}$ e il tempo ${\displaystyle b}$ è dato come ${\displaystyle N_{b}-N_{a}}$ ed ha una distribuzione di Poisson. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da ${\displaystyle t}$ a ${\displaystyle N_{t}(\omega ),}$ dove ${\displaystyle \omega }$ appartiene allo spazio di probabilità su cui è definita ${\displaystyle N}$) è una funzione a gradino sui numeri interi

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il processo di Bernoulli. Il processo di Poisson è uno dei più famosi processi di Lévy. I processi di Poisson sono anche un esempio di catena di Markov a tempo continuo.

Definizione

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

Definizione infinitesimale

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle N_{0}=0.}$
• Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ossia le variabili aleatorie

${\displaystyle N_{t_{k}}-N_{t_{k-1}},\dots ,N_{t_{1}}-N_{t_{0}},\qquad \forall t_{0}=0<t_{1}<\dots <t_{k},}$

sono indipendenti.

• La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ossia, per ${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda h+o(h).}$

La costante di proporzionalità ${\displaystyle \lambda }$ è detta intensità del processo.

• La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ossia

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+h}-N_{t}>1)=o(h).}$

Costruzione attraverso i tempi di attesa

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie ${\displaystyle S_{k}}$ l'uno dall'altro, dove gli ${\displaystyle S_{k}}$ sono distribuzioni esponenziali di parametro ${\displaystyle \lambda }$, ognuna indipendente dalle altre. Allora il processo definito da

${\displaystyle N_{t}=\sup {\left\{n:\sum _{k=1}^{n}{S_{k}}\leq t\right\}}}$

è un processo di Poisson di intensità ${\displaystyle \lambda .}$

Definizione attraverso le probabilità di transizione

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

• ${\displaystyle N_{0}=0.}$
• Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno distribuzione di Poisson di parametro ${\displaystyle \lambda t,}$ ossia:

${\displaystyle \mathbb {P} (N_{t+\tau }-N_{t}=k)={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}},\qquad k=0,1,\ldots .}$

Proprietà

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:

• Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov.
• Il processo di Poisson soddisfa la proprietà di Markov forte.
• Il tempo del n-esimo evento ha distribuzione Gamma ${\displaystyle \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)}$.
• Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è uniforme.
• Se ${\displaystyle N_{t}}$ e ${\displaystyle M_{t}}$ sono due processi di Poisson indipendenti di intensità ${\displaystyle \lambda }$ e ${\displaystyle \mu }$, allora ${\displaystyle Z_{t}=N_{t}+M_{t}}$ è un processo di Poisson di intensità ${\displaystyle \lambda +\mu .}$
• Il processo di Poisson è un processo di Lévy.

Bibliografia

• J.R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997.

Voci correlate

• Distribuzione di Poisson
• Processo di Poisson composto
• Processo markoviano
• Processo stocastico
• Teoria delle code

Collegamenti esterni

• (EN) Poisson process, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Processo di Poisson, su MathWorld, Wolfram Research.

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